Derivar y = x².

Step-by-step solution

1. 1

   Enunciar la regla de la potencia con exactitud. Para cualquier exponente constante $n$,

   $\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n-1}$

   Ocurren dos cosas a la vez: el exponente antiguo baja al frente como multiplicador y el propio exponente disminuye en una unidad.

2. 2

   Identificar el exponente. En $y=x^2$ tenemos $n=2$. No hay coeficiente que arrastrar ni hace falta la regla de la cadena, porque la base es simplemente $x$.

3. 3

   Aplicar la regla.

   $\frac{dy}{dx}=2x^{2-1}=2x^1=2x$

4. 4

   Confirmar desde la definición, para que la regla no sea solo una receta. El cociente incremental es

   $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$

   y al hacer $h\to 0$ se obtiene $2x$: la misma respuesta, conseguida sin suponer la regla de la potencia.

5. 5

   Leer el significado en la gráfica. La derivada $2x$ es la pendiente de la parábola: en $x=3$ la tangente tiene pendiente $6$, en $x=0$ es horizontal (el vértice) y para $x<0$ la pendiente es negativa. Así, la inclinación crece linealmente a medida que uno se aleja del origen.