Calcula la integral doble de x² − 8y sobre el rectángulo donde x va de −2 a −1 e y va de 0 a 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce el caso fácil. $D$ es un rectángulo, así que ambos límites son constantes y el orden de integración no importa. Toma primero $x$:

   $\int_0^1 \int_{-2}^{-1} (x^2-8y)\,dx\,dy$

2. 2

   Integra respecto de $x$, manteniendo $y$ constante.

   $\int (x^2-8y)\,dx = \frac{x^3}{3}-8yx$

3. 3

   Sustituye los límites en $x$. En $x=-1$: $-\tfrac{1}{3}+8y$. En $x=-2$: $-\tfrac{8}{3}+16y$. Al restar,

   $\left(-\tfrac{1}{3}+8y\right)-\left(-\tfrac{8}{3}+16y\right) = \tfrac{7}{3}-8y$

   Los valores negativos de $x$ son el lugar habitual donde se escapa un signo: fíjate en que $(-2)^3 = -8$, no $8$.

4. 4

   Integra el resultado respecto de $y$ de $0$ a $1$.

   $\int_0^1\left(\tfrac{7}{3}-8y\right)dy = \left[\tfrac{7}{3}y-4y^2\right]_0^1 = \tfrac{7}{3}-4 = -\tfrac{5}{3}$