Calcula la integral de 1/(√x · √(x+1)) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Buscar una sustitución que elimine los dos radicales a la vez. El obstáculo es tener $\sqrt{x}$ y $\sqrt{x+1}$ al mismo tiempo. La identidad $\cosh^{2}t-\sinh^{2}t=1$ atiende exactamente ese emparejamiento, así que se toma

   $x=\sinh^{2}t$

   Entonces $\sqrt{x}=\sinh t$ y $\sqrt{x+1}=\sqrt{\sinh^{2}t+1}=\cosh t$: los dos radicales se vuelven elementales de un solo golpe.

2. 2

   Calcular el diferencial. Por la regla de la cadena,

   $dx=2\sinh t\cosh t\,dt$

3. 3

   Sustituir y ver cómo se cancela todo.

   $\int\frac{1}{\sinh t\cosh t}\cdot2\sinh t\cosh t\,dt=\int2\,dt=2t+C$

   Todo el integrando se reduce a una constante: la señal más rotunda de que la sustitución estaba bien elegida.

4. 4

   Deshacer la sustitución. De $x=\sinh^{2}t$ con $t\ge0$ se sigue $\sinh t=\sqrt{x}$, de donde $t=\operatorname{arsinh}\sqrt{x}$ y

   $\int\frac{dx}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}=2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}+C$

5. 5

   Dar la forma logarítmica. Usando $\operatorname{arsinh}u=\ln\left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)$ con $u=\sqrt{x}$:

   $2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}=2\ln\!\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)$

   Las dos formas coinciden hasta $10^{-13}$ en $x=0.3$, $1$ y $4$ ✓. La versión logarítmica suele preferirse porque no necesita ninguna función hiperbólica inversa.

6. 6

   Verificar derivando de vuelta. Una derivada numérica de $2\operatorname{arsinh}\sqrt{x}$ coincide con $\dfrac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$ en $x=0.3$, $1$ y $4$ con un margen de $10^{-5}$ ✓. Simbólicamente, derivar $2\ln\left(\sqrt x+\sqrt{x+1}\right)$ da $\dfrac{2}{\sqrt x+\sqrt{x+1}}\left(\dfrac{1}{2\sqrt x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}\right)$, que se simplifica hasta el integrando ✓. El dominio es $x>0$.