Calcula la integral de 1 / x^(2/3) desde x = −1 hasta x = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Detecta la singularidad interior. El integrando $x^{-2/3}$ no está definido en $x=0$, que queda dentro del intervalo de integración. Aplicar el teorema fundamental de un tirón por encima del hueco no es válido; hay que tratar la integral como impropia y partirla en $0$:

   $\int_{-1}^{1}x^{-2/3}dx=\int_{-1}^{0}x^{-2/3}dx+\int_{0}^{1}x^{-2/3}dx$

2. 2

   Halla la primitiva. Por la regla de la potencia con $p=-\tfrac23$, de modo que $p+1=\tfrac13$:

   $\int x^{-2/3}dx=\frac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}$

   La raíz cúbica real $x^{1/3}$ también está definida para $x$ negativo, así que esta única fórmula cubre las dos mitades.

3. 3

   Calcula la mitad izquierda como un límite.

   $\lim_{a\to 0^{-}}\left[3x^{1/3}\right]_{-1}^{a}=\lim_{a\to 0^{-}}\left(3a^{1/3}-3(-1)^{1/3}\right)=0+3=3$

   usando $(-1)^{1/3}=-1$. El límite es finito porque $x^{1/3}\to 0$, no $\infty$: la primitiva es continua incluso donde el integrando no lo es.

4. 4

   Calcula la mitad derecha del mismo modo.

   $\lim_{b\to 0^{+}}\left[3x^{1/3}\right]_{b}^{1}=\lim_{b\to 0^{+}}\left(3-3b^{1/3}\right)=3$

5. 5

   Suma las dos mitades convergentes.

   $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2/3}}dx=3+3=6$

   La integral converge aunque el integrando no esté acotado: el pico en $0$ es sencillamente demasiado estrecho para encerrar un área infinita.

6. 6

   Compara con la regla general. Cerca de $0$, $\int_{0}^{1}x^{-p}dx$ converge exactamente cuando $p<1$. Aquí $p=\tfrac23<1$, así que la convergencia era predecible; si el exponente hubiera sido $x^{-4/3}$ (o sea $p=\tfrac43>1$), las dos mitades divergirían. La simetría del integrando explica además por qué las dos mitades dan el mismo $3$.