Resuelve la ecuación diferencial dy/dx = 3 − 4y.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce el tipo y detecta el equilibrio. El miembro derecho depende solo de $y$, así que la ecuación es separable (también es lineal de primer orden). Al imponer $3-4y=0$ aparece la solución constante $y=\tfrac34$ — el nivel en el que la derivada se anula. Cualquier otra solución se acercará o se alejará de él, de modo que ese valor debe aparecer en la respuesta final.

2. 2

   Separa las variables. Divide entre $3-4y$ (válido mientras $y\neq\tfrac34$) y multiplica por $dx$:

   $\frac{dy}{3-4y}=dx$

3. 3

   Integra ambos miembros con la sustitución $u = 3 - 4y$. Entonces $du=-4\,dy$, de modo que $dy=-\tfrac14\,du$:

   $\int\frac{dy}{3-4y}=-\frac14\int\frac{du}{u}=-\frac14\ln|u|+C$

   El $-\tfrac14$ proviene de la regla de la cadena y es el paso que más a menudo se olvida:

   $-\frac14\ln|3-4y|=x+C$

4. 4

   Deshaz el logaritmo. Multiplica por $-4$ y aplica la exponencial:

   $\ln|3-4y|=-4x+C_1\qquad\Longrightarrow\qquad |3-4y|=e^{C_1}e^{-4x}$

   Absorber el signo de $3-4y$ dentro de la constante permite quitar el valor absoluto: $3-4y=Ae^{-4x}$, con $A$ cualquier real distinto de cero.

5. 5

   Despeja y y agrupa las constantes.

   $y=\frac{3-Ae^{-4x}}{4}=\frac34-\frac{A}{4}e^{-4x}=\frac34+Ce^{-4x}$

   Renombrar $-\tfrac{A}{4}$ como $C$ es legítimo porque $A$ era arbitraria, y permitir ahora $C=0$ recupera la solución de equilibrio $y=\tfrac34$ que la división del paso 2 había excluido.

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   Verifica por sustitución. Al derivar, $y'=-4Ce^{-4x}$. Por su parte, $3-4y=3-3-4Ce^{-4x}=-4Ce^{-4x}$ — idénticos ✓. Numéricamente, con $C=2.3$, en $x=0.1$ ambos miembros valen $-6.16694$, y en $x=-0.4$ ambos valen $-45.5679$ ✓.

7. 7

   Interpreta el comportamiento. Como $e^{-4x}\to0$ cuando $x\to\infty$, toda solución se aproxima a $y=\tfrac34$ desde el lado en el que haya empezado: el equilibrio es estable, que es justo lo que predice el coeficiente negativo $-4$ que acompaña a $y$.