Deriva y = 8x⁶ − 3x elevado a menos 4, más 4 sobre x, menos 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribe cada término como una potencia de $x$. La regla de la potencia solo se aplica a la forma $cx^n$, así que convierte la fracción:

   $\frac4x=4x^{-1}$

   La expresión queda $y=8x^6-3x^{-4}+4x^{-1}-9$. La constante $-9$ es $-9x^0$ y su derivada será cero.

2. 2

   Deriva la potencia positiva. Con $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$,

   $\frac{d}{dx}\left(8x^6\right)=8\cdot 6x^5=48x^5$

3. 3

   Deriva el término $-3x^{-4}$: aquí se encuentran dos negativos.

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{-4}\right)=-3\cdot(-4)x^{-5}=+12x^{-5}$

   El exponente sigue disminuyendo: $-4-1=-5$, no $-3$. Y como el coeficiente $-3$ multiplica al exponente negativo $-4$, el término resultante es positivo.

4. 4

   Deriva $4x^{-1}$ y la constante.

   $\frac{d}{dx}\left(4x^{-1}\right)=4\cdot(-1)x^{-2}=-4x^{-2},\qquad \frac{d}{dx}(-9)=0$

5. 5

   Combina y presenta el resultado con exponentes positivos.

   $\frac{dy}{dx}=48x^5+12x^{-5}-4x^{-2}=48x^5+\frac{12}{x^5}-\frac{4}{x^2}$

6. 6

   Comprueba numéricamente en $x=1$. La fórmula da $48+12-4=56$. Una diferencia central sobre la función original con $h=10^{-4}$ da también $56.00$, lo que confirma tanto los coeficientes como los signos. Observa que la derivada no está definida en $x=0$, exactamente igual que la función original.