Halla el límite de (tan x − sen x)/x² cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

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   No sustituyas $\tan x$ y $\sin x$ por $x$ por separado. Ambas son equivalentes a $x$ cerca de $0$, así que el atajo sugiere un numerador $x-x=0$ y una respuesta $0$ «por la razón equivocada». Los infinitésimos equivalentes pueden sustituirse en productos y cocientes, nunca en una resta donde los términos principales se cancelan. Primero hay que averiguar el tamaño real del numerador.

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   Saca $\sin x$ como factor común del numerador. Escribiendo $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$:

   $\tan x-\sin x=\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)=\sin x\cdot\frac{1-\cos x}{\cos x}$

   Esta reescritura exacta cambia una resta peligrosa por un producto de tres piezas bien conocidas.

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   Separa el cociente en límites estándar. Dividiendo entre $x^2=x\cdot x$ y emparejando cada factor con una $x$:

   $\frac{\tan x-\sin x}{x^2}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1-\cos x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}$

   Ahora cada factor es un límite de manual, y la regla del producto para límites se aplica porque los tres convergen.

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   Evalúa los tres factores.

   $\frac{\sin x}{x}\to 1,\qquad \frac{1-\cos x}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{\cos x}\to 1$

   El del medio es el factor decisivo: $1-\cos x\approx\tfrac{x^2}{2}$, así que dividir entre una sola $x$ todavía deja algo que se anula.

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   Multiplica los límites.

   $1\cdot 0\cdot 1=0$

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   Verifica con la serie de Taylor. De $\tan x=x+\tfrac{x^3}{3}+O(x^5)$ y $\sin x=x-\tfrac{x^3}{6}+O(x^5)$, la diferencia es $\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{x^3}{6}=\tfrac{x^3}{2}$. Dividir entre $x^2$ deja $\tfrac{x}{2}\to 0$. Numéricamente el cociente vale $0.0501$ en $x=0.1$ y $0.0050$ en $x=0.01$: se reduce diez veces en cada paso, exactamente como $x/2$.