Evalúa la integral entre −π/4 y 3π/4 de 1 dividido entre (3 cos³x + sen 2x + sen²x) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Revisar si el denominador tiene ceros antes de intentar cualquier sustitución. Se escribe $D(x) = 3\cos^3x+\sin 2x+\sin^2x$. Cualquier sustitución de la tangente del ángulo mitad (de Weierstrass) no sirve de nada si $D$ se anula dentro del intervalo, porque entonces la integral no existe.

2. 2

   Evaluar D en los extremos y en el punto medio. $D\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = \tfrac{3\sqrt2}{4}-\tfrac12 \approx 0.5607>0$; $D(0)=3>0$; $D\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0+0+1 = 1>0$; pero $D\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = -\tfrac{3\sqrt2}{4}-\tfrac12 \approx -1.5607<0$.

3. 3

   Aplicar el teorema del valor intermedio. $D$ es continua y cambia de signo entre $\tfrac{\pi}{2}$ y $\tfrac{3\pi}{4}$, así que existe un $c$ en ese rango con $D(c)=0$. Numéricamente el único cero está en $c \approx 1.9569768.$ Por lo tanto el integrando $\tfrac{1}{D(x)}$ tiene una discontinuidad infinita estrictamente dentro del intervalo de integración.

4. 4

   Establecer que el cero es simple. $D'(c) \approx -3.3131 \neq 0$, así que cerca de $c$ el desarrollo de Taylor da $D(x) \approx D'(c)(x-c)$ y por lo tanto $\frac{1}{D(x)} \approx \frac{1}{D'(c)}\cdot\frac{1}{x-c}.$ Un cero simple, y no uno doble, es el peor caso para la convergencia.

5. 5

   Comparar con la integral modelo 1/(x - c). $\displaystyle\int\frac{dx}{x-c} = \ln|x-c|$, que tiende a $-\infty$ cuando $x\to c$. Las dos integrales impropias laterales divergen, y lo hacen hacia $-\infty$ y $+\infty$, así que ninguna cancelación de valor principal rescata a la integral ordinaria.

6. 6

   Concluir. La integral $\int_{-\pi/4}^{3\pi/4}\frac{dx}{3\cos^3x+\sin 2x+\sin^2x}$ diverge; no tiene ningún valor finito. Solo un valor principal de Cauchy en $x=c$ sería finito, y eso debe enunciarse de forma explícita si es lo que pide el problema.