Da todas las soluciones x(t) de (t − 1)ẋ − x + 1 = t para t > 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Ordena la ecuación. Pasa la constante al miembro derecho: $(t-1)\dot{x}-x=t-1.$ Escrita así, el miembro derecho es un múltiplo limpio de $t-1$, lo que anticipa que toda la ecuación está a punto de compactarse.

2. 2

   Normaliza a la forma lineal estándar. Como $t>1$, se puede dividir entre $t-1$: $\dot{x}-\frac{1}{t-1}x=1,$ que es $\dot{x}+p(t)x=q(t)$ con $p(t)=-\dfrac{1}{t-1}$ y $q(t)=1$.

3. 3

   Construye el factor integrante. $\mu(t)=e^{\int p\,dt}=e^{-\ln(t-1)}=\frac{1}{t-1},$ donde $\ln(t-1)$ no necesita valor absoluto porque $t-1>0$.

4. 4

   Multiplica toda la ecuación y reconoce la regla del producto. $\frac{\dot{x}}{t-1}-\frac{x}{(t-1)^2}=\frac{1}{t-1}\ \Longleftrightarrow\ \left(\frac{x}{t-1}\right)^{\!\prime}=\frac{1}{t-1}.$

5. 5

   Integra y deshaz el cambio. $\frac{x}{t-1}=\ln(t-1)+C\ \Longrightarrow\ x(t)=(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C\bigr).$

6. 6

   Comprueba por sustitución. Con $x=(t-1)(\ln(t-1)+C)$ se obtiene $\dot{x}=\ln(t-1)+C+1$, de modo que $(t-1)\dot{x}-x+1=(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C+1\bigr)-(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C\bigr)+1=(t-1)+1=t.$ La identidad se cumple para todo $C$, así que esta es la familia completa.