Calcular el límite de (sin 3x − cos 2x)/(2x − π)² cuando x tiende a π/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Verificar la forma. En $x=\frac{\pi}{2}$: $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$ y $\cos\pi=-1$, así que el numerador vale $-1-(-1)=0$, y el denominador también es $0$ — la forma es $\frac{0}{0}$.

2. 2

   Desplazar la variable. Se toma $x=\frac{\pi}{2}+t$ con $t\to 0$. El denominador queda $(2t)^2=4t^2$, de modo que el numerador debe anularse hasta el segundo orden para que el límite sea finito.

3. 3

   Reescribir el numerador. $\sin\left(\frac{3\pi}{2}+3t\right)=-\cos 3t$ y $\cos(\pi+2t)=-\cos 2t$, así que el numerador se convierte en $-\cos 3t+\cos 2t=\cos 2t-\cos 3t$.

4. 4

   Desarrollar ambos cosenos hasta el segundo orden. $\cos 2t\approx 1-2t^2$ y $\cos 3t\approx 1-\frac{9}{2}t^2$, así que $\cos 2t-\cos 3t\approx\frac{9}{2}t^2-2t^2=\frac{5}{2}t^2$. Los términos constantes se cancelan, exactamente como lo exigía la forma $\frac{0}{0}$.

5. 5

   Formar el cociente. $\frac{\frac{5}{2}t^2}{4t^2}=\frac{5}{8}$, independiente de $t$, así que el límite es $\frac{5}{8}$.

6. 6

   Verificación numérica. En $x=\frac{\pi}{2}+10^{-4}$ la expresión original vale $0.6249999932$, que coincide con $\frac{5}{8}=0.625$.