Estudia la convergencia de la integral doble de sen(x)sen(y)/(x+y)^p sobre la región x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Cambia de variables para que el peso dependa de una sola variable. El integrando solo ve $x+y$ a través del denominador, así que toma $u=x+y$, $v=x$. Entonces $y=u-v$ y el jacobiano es $1$. Las restricciones $x\ge0$, $y\ge0$ pasan a ser $0\le v\le u$, y $x+y\ge1$ pasa a ser $u\ge1$, de modo que $I(p)=\int_1^\infty \frac{1}{u^p}\left(\int_0^u \sin v\,\sin(u-v)\,dv\right)du.$

2. 2

   Reduce la integral interior con una identidad de producto a suma. Usando $\sin A\sin B=\tfrac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$ con $A=v$ y $B=u-v$ queda $\sin v\sin(u-v)=\tfrac12[\cos(2v-u)-\cos u]$. Al integrar en $v\in[0,u]$, el primer trozo aporta $\sin u$ y el segundo aporta $u\cos u$, así que $\int_0^u \sin v\,\sin(u-v)\,dv=\frac{\sin u-u\cos u}{2}.$

3. 3

   Separa el resultado en dos colas oscilantes. Sustituyendo de vuelta, $I(p)=\frac12\int_1^\infty\frac{\sin u}{u^p}\,du-\frac12\int_1^\infty\frac{\cos u}{u^{p-1}}\,du.$ La pregunta bidimensional sobre la convergencia se ha convertido en dos integrales impropias unidimensionales de la misma forma estándar.

4. 4

   Aplica el criterio de Dirichlet a cada cola. Las integrales parciales $\int_1^X\sin u\,du$ y $\int_1^X\cos u\,du$ se mantienen acotadas, así que $\int_1^\infty \sin u/u^p\,du$ converge siempre que $u^{-p}$ decrezca hasta $0$, es decir, para $p>0$, y $\int_1^\infty \cos u/u^{p-1}\,du$ converge siempre que $p-1>0$. La segunda condición es la restrictiva. En $p=1$ la segunda cola es $\int_1^\infty\cos u\,du$, que oscila sin estabilizarse, y para $p<1$ su amplitud $u^{1-p}$ incluso crece, así que la convergencia se da exactamente cuando $p>1$.

5. 5

   Estudia por separado la convergencia absoluta. Tomar valores absolutos destruye la cancelación: $A(u)=\int_0^u|\sin v\,\sin(u-v)|\,dv$ crece linealmente, $cu\le A(u)\le Cu$ para $u$ grande, porque $|\sin v\sin(u-v)|$ tiene media positiva en cada periodo. Por tanto $\iint_D|\cdot|\asymp\int_1^\infty u^{1-p}\,du$, que converge exactamente cuando $1-p<-1$, es decir, para $p>2$.

6. 6

   Reúne la tricotomía. La convergencia absoluta exige $p>2$ y la convergencia simple exige $p>1$, así que para $1<p\le 2$ la integral converge pero no absolutamente, y para $p\le 1$ diverge.