Indica la forma indeterminada del límite de ln x / √x cuando x tiende a infinito y luego usa la regla de L'Hôpital para hallar el límite.

Step-by-step solution

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   Identificar la forma indeterminada. Cuando $x\to+\infty$, tanto $\ln x \to +\infty$ como $\sqrt{x} \to +\infty$, así que el cociente tiene la forma $\dfrac{\infty}{\infty}$. Esa es una de las dos formas que la regla de L'Hôpital trata directamente.

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   Derivar numerador y denominador por separado. La regla de L'Hôpital reemplaza $\dfrac{f}{g}$ por $\dfrac{f'}{g'}$; esto no es la regla del cociente, y confundir las dos es el error clásico:

   $f(x) = \ln x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}, \qquad g(x) = x^{1/2} \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

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   Formar y simplificar el nuevo cociente.

   $\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})} = \frac{2\sqrt{x}}{x} = \frac{2}{\sqrt{x}}$

   Esa simplificación es lo que hace rentable la regla: la nueva expresión ya no es indeterminada.

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   Tomar el límite.

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} = 0$

   así que el límite original también es $0$. Bastó con una única aplicación de la regla.

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   Interpretar el resultado. Es el enunciado estándar de que los logaritmos crecen más despacio que cualquier potencia positiva de $x$: $\ln x = o(x^{p})$ para todo $p > 0$. Aquí $p = \tfrac12$, y el mismo argumento sirve para cualquier $p$.

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   Verificar numéricamente. En $x = 10^4$: $\dfrac{\ln 10^4}{\sqrt{10^4}} = \dfrac{9.2103}{100} = 0.092103$. En $x = 10^8$: $\dfrac{18.4207}{10^4} = 0.00184207$. En $x = 10^{16}$: $\dfrac{36.8414}{10^8} = 3.68\times10^{-7}$ ✓, decreciendo hacia $0$; y un cálculo simbólico del límite devuelve exactamente $0$.