Demuestra que si f es monótona, no negativa y no acotada en [a, ∞), entonces la integral impropia de f desde a hasta infinito diverge necesariamente.

Step-by-step solution

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   Precisar a qué obliga la combinación de monotonía y no acotación. Una función monótona en $[a,\infty)$ es no decreciente o no creciente. Una función no creciente que arranca en $f(a)$ y se mantiene $\ge 0$ queda atrapada en $[0,f(a)]$, es decir, acotada. Así que la hipótesis de no acotación descarta ese caso: $f$ tiene que ser no decreciente, y $f(x)\to+\infty$.

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   Extraer un umbral cómodo. Como $f(x)\to+\infty$, existe algún $b\ge a$ con

   $f(b)\ge 1$

   y, al ser $f$ no decreciente, $f(x)\ge 1$ para todo $x\ge b$. La elección de la constante $1$ es arbitraria: sirve cualquier número positivo.

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   Comparar en la cola. Para cualquier $T>b$, la monotonía de la integral da

   $\int_{b}^{T}f(x)\,dx\ge \int_{b}^{T}1\,dx=T-b$

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   Hacer crecer T. El miembro derecho $T-b\to+\infty$, así que $\int_{b}^{T}f\to+\infty$. Sumar el trozo finito $\int_{a}^{b}f$ (finito porque $f$ es monótona y, por tanto, integrable en el intervalo acotado $[a,b]$) no cambia eso:

   $\int_{a}^{T}f(x)\,dx\to+\infty\quad\text{cuando }T\to+\infty$

   $\boxed{\text{La integral impropia diverge}}$

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   Comprobar que cada hipótesis es necesaria. Si se quita no acotada, la conclusión falla: $f(x)=\tfrac{1}{x^{2}}$ en $[1,\infty)$ es monótona, no negativa y acotada, y su integral converge a $1$. Si se quita monótona, también falla: una función no negativa y no acotada formada por picos cada vez más altos y más estrechos (altura $n$ y anchura $2^{-n}n^{-1}$ cerca de $x=n$) tiene área total $\sum 2^{-n}<\infty$. Así que las dos condiciones hacen un trabajo real.

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   Notar el contraste con las series. El enunciado análogo para sucesiones es trivial: una sucesión no negativa y no acotada no puede cumplir $a_n\to 0$, así que $\sum a_n$ diverge por el criterio del término general. Para integrales no existe tal criterio del término general (una función puede no tender a $0$ y aun así tener integral convergente), y por eso hay que suponer la monotonía de forma explícita.