Calcular el gradiente y la derivada direccional en la dirección del vector (0, -1) de la función f(x, y) = x^2 y + x e^(-xy).

Step-by-step solution

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   Recordar la regla y comprobar el vector dirección. Para un vector unitario $\mathbf v$, la derivada direccional es el producto escalar $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot \mathbf v$. Aquí $\|(0,-1)\|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1$, así que $\mathbf v$ ya es unitario y no hace falta normalizarlo. Si no lo fuera, habría que dividir primero entre su norma.

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   Derivar respecto de $x$. El término $x^2y$ da $2xy$. El término $xe^{-xy}$ requiere la regla del producto junto con la regla de la cadena, ya que $\partial_x e^{-xy}=-y e^{-xy}$:

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(xe^{-xy}\right)=e^{-xy}-xy\,e^{-xy}.$

   Por tanto

   $f_x=2xy+(1-xy)e^{-xy}.$

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   Derivar respecto de $y$. Ahora $x$ actúa como constante, así que $x^2y$ da $x^2$, y $\partial_y e^{-xy}=-x e^{-xy}$ convierte el segundo término en $-x^2 e^{-xy}$:

   $f_y=x^{2}-x^{2}e^{-xy}=x^{2}\left(1-e^{-xy}\right).$

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   Ensamblar el gradiente.

   $\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}2xy+(1-xy)e^{-xy}\\[2pt] x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)\end{pmatrix}.$

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   Multiplicar escalarmente por la dirección. Como $\mathbf v=(0,-1)$ anula la primera componente, solo sobrevive la parcial respecto de $y$, con el signo cambiado:

   $D_{\mathbf v}f=\nabla f\cdot(0,-1)=-f_y=-x^{2}\left(1-e^{-xy}\right)=x^{2}\left(e^{-xy}-1\right).$

   Eso es exactamente lo que dice la geometría: moverse en la dirección $-y$ es avanzar en sentido contrario al eje $y$, de modo que la razón de cambio es la opuesta de $f_y$.

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   Comprobar numéricamente. En $(x,y)=(1.3,0.7)$ una diferencia central da $f_x\approx 1.856227$ y $f_y\approx 1.009734$, en concordancia con las fórmulas, y $D_{\mathbf v}f\approx-1.009734$. En $(-2,1.5)$ la fórmula da $D_{\mathbf v}f\approx 76.342$, que de nuevo coincide con la derivada numérica.