Evalúa la integral de theta = pi/4 a pi/2 de la integral de rho = 2 sen theta a 2 de rho al cuadrado por sen theta drho dtheta.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee la geometría. En coordenadas polares el elemento de área es $\rho\,d\rho\,d\theta$, así que $\rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta = (\rho\sin\theta)\,\rho\,d\rho\,d\theta = y\,dA$. La región está entre la circunferencia $\rho=2\sin\theta$ (es decir, $x^2+(y-1)^2=1$) y la circunferencia $\rho=2$, para $\theta$ entre $\tfrac{\pi}{4}$ y $\tfrac{\pi}{2}$, de modo que la integral es el primer momento de esa región respecto del eje $x$.

2. 2

   Integra en rho, manteniendo fijo sen(theta). $\int_{2\sin\theta}^{2}\rho^2\,d\rho = \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_{2\sin\theta}^{2} = \frac{8}{3}-\frac{8\sin^3\theta}{3}.$ Al multiplicar por $\sin\theta$ queda $\tfrac83\left(\sin\theta-\sin^4\theta\right)$.

3. 3

   Evalúa el término del seno. $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \left[-\cos\theta\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = 0+\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2}{2}.$

4. 4

   Reduce sen^4(theta) a una combinación lineal de cosenos. $\sin^2\theta = \tfrac{1-\cos2\theta}{2}$ y $\cos^2 2\theta = \tfrac{1+\cos4\theta}{2}$, así que $\sin^4\theta = \frac{3-4\cos2\theta+\cos4\theta}{8}.$ Las potencias impares se podrían tratar con una sustitución, pero una potencia par exige reducción de potencias.

5. 5

   Integra la forma reducida. $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin^4\theta\,d\theta = \frac18\left[3\theta-2\sin2\theta+\frac{\sin4\theta}{4}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \frac18\left(\frac{3\pi}{2}-\left(\frac{3\pi}{4}-2\right)\right) = \frac{3\pi}{32}+\frac14.$

6. 6

   Arma la respuesta. $\frac83\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{3\pi}{32}-\frac14\right) = \frac{4\sqrt2}{3}-\frac{\pi}{4}-\frac23 \approx 0.433553.$ La cuadratura directa de $\tfrac83(\sin\theta-\sin^4\theta)$ sobre $\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]$ devuelve $0.4335532531$, lo que confirma el resultado.