Halla la suma de xⁿ/n² para n desde 1 hasta infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Hallar primero el radio de convergencia. El criterio del cociente da

   $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|x\right|\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}\to\left|x\right|$

   así que la serie converge para $\left|x\right|<1$. En los extremos también converge: en $x=1$ es la $p$-serie con $p=2$, y en $x=-1$ converge absolutamente. El dominio de la suma es, por tanto, el intervalo cerrado $\left|x\right|\le 1$.

2. 2

   Construirla a partir de la serie geométrica con dos integraciones. Partiendo de $\sum_{n\ge 1}x^{n-1}=\dfrac{1}{1-x}$ e integrando una vez se obtiene

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x)$

   Dividir entre $x$ e integrar una segunda vez introduce el $n$ adicional del denominador:

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}=-\int_{0}^{x}\frac{\ln(1-t)}{t}\,dt$

3. 3

   Reconocer que esta integral no tiene forma cerrada elemental. A diferencia de $\sum x^{n}/n$, la segunda primitiva no se puede expresar con funciones elementales. Por eso los matemáticos le pusieron nombre: el dilogaritmo:

   $\operatorname{Li}_{2}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}=-\int_{0}^{x}\frac{\ln(1-t)}{t}\,dt$

   Ponerle nombre es la respuesta honesta, igual que ocurre con la función error para $\int e^{-x^{2}}dx$.

4. 4

   Leer los dos valores especiales. En $x=1$ la serie es la suma de Basilea:

   $\operatorname{Li}_{2}(1)=\frac{\pi^{2}}{6}$

   y en $x=-1$ la versión alternada la reduce a la mitad y le cambia el signo:

   $\operatorname{Li}_{2}(-1)=-\frac{\pi^{2}}{12}$

5. 5

   Comprobar numéricamente un tercer valor conocido. En $x=\tfrac12$ existe la identidad clásica $\operatorname{Li}_{2}\!\left(\tfrac12\right)=\dfrac{\pi^{2}}{12}-\dfrac{\ln^{2}2}{2}$. Sumar 200 términos de la serie da $0.58224052646$, y la forma cerrada da $0.58224052647$ ✓, lo que confirma tanto la serie como el convenio de nombrarla.