Para y = −(1/2) sen(3.14/3 − x²), indica el dominio y halla dy/dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Indica primero el dominio. La función seno acepta toda entrada real y $\frac{3.14}{3}-x^{2}$ es un polinomio definido para todo $x$, así que la composición está definida en todas partes:

   $\mathcal{D}=\mathbb{R}.$

   El número $3.14$ es aquí una constante decimal (escrita $3{,}14$ en la notación de coma decimal), no $\pi$: no cambia nada en la derivación, pero sí importa si después resuelves $y=0$ numéricamente.

2. 2

   Identifica la función interior y la exterior. Toma

   $u=\frac{3.14}{3}-x^{2},\qquad y=-\frac12\sin u.$

   Nombrar explícitamente la función interior es lo que mantiene honesta la regla de la cadena; la constante $-\tfrac12$ simplemente viaja como multiplicador.

3. 3

   Deriva la función exterior. Como $\frac{d}{du}\sin u=\cos u$,

   $\frac{dy}{du}=-\frac12\cos u.$

   La regla del múltiplo constante deja pasar el $-\tfrac12$ intacto a través de la derivada.

4. 4

   Deriva la función interior y multiplica. La constante $\frac{3.14}{3}$ se deriva como $0$, así que

   $\frac{du}{dx}=-2x,$

   y por la regla de la cadena

   $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\left(-\frac12\cos u\right)(-2x)=x\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right).$

   Los dos signos menos se cancelan y el $\tfrac12$ se cancela contra el $2$, y por eso la respuesta ordenada tiene coeficiente exactamente $1$.

5. 5

   Comprueba numéricamente y observa los puntos críticos. En $x=1.1$, una diferencia central de $y$ da $1.0853598$, mientras que $x\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right)=1.0853598$ ✓. La derivada se anula cuando $x=0$ o cuando $\cos\!\left(\frac{3.14}{3}-x^{2}\right)=0$, es decir, $x^{2}=\frac{3.14}{3}-\frac{\pi}{2}-k\pi$: así que $x=0$ siempre es un punto crítico y los demás quedan espaciados según los ceros del coseno.