Calcula el límite de 3x³ + 5x² + 4x − 10 cuando x tiende a 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprobar de qué tipo de función se está tomando el límite. La expresión $3x^3+5x^2+4x-10$ es un polinomio. Los polinomios se construyen con sumas y productos de $x$ y constantes, y toda función de ese tipo es continua en cualquier número real. La continuidad en $a$ es exactamente la afirmación

   $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

   así que aquí no hace falta ningún truco algebraico: todo el problema se reduce a una evaluación.

2. 2

   Sustituir $x=2$ en cada término por separado. Ir término a término mantiene la aritmética bajo control:

   $3(2)^3=3\cdot 8=24,\qquad 5(2)^2=5\cdot 4=20,\qquad 4(2)=8,\qquad -10$

3. 3

   Sumar las cuatro piezas.

   $24+20+8-10=42$

   Así que

   $\lim_{x\to 2}\left(3x^3+5x^2+4x-10\right)=42$

4. 4

   Confirmar que la sustitución era legítima. La sustitución directa solo falla cuando produce una forma indefinida como $\tfrac00$ o $\tfrac{c}{0}$. Aquí produjo el número finito $42$, así que no hay nada indeterminado que resolver: ni factorizar, ni conjugados, ni L'Hôpital.

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   Contrastar por ambos lados. Al evaluar el polinomio un poco fuera de $x=2$ se obtiene $f(1.99)\approx 41.4023$ y $f(2.01)\approx 42.6023$; los valores se cierran sobre $42$ por debajo y por arriba, que es justo el aspecto que tiene un límite bilateral igual a $42$.