Grafica f(x) = -2x² · eˣ desde x = -7 hasta x = 0, identificando los puntos críticos, los puntos de inflexión y el recorrido.

Step-by-step solution

1. 1

   Lee primero el signo y los extremos. Como $x^2\ge 0$ y $e^x>0$ siempre, el factor $-2$ obliga a que

   $f(x)\le 0\quad\text{para todo }x,\qquad f(x)=0\text{ solo en }x=0$

   En el extremo izquierdo $f(-7)=-98e^{-7}\approx -0.0894$, así que la curva arranca justo por debajo del eje: la exponencial ya ha aplastado el crecimiento de $x^2$.

2. 2

   Deriva con la regla del producto.

   $f^{\prime}(x)=-2\left(2xe^{x}+x^{2}e^{x}\right)=-2xe^{x}(x+2)$

   de modo que los puntos críticos son $x=0$ y $x=-2$; el factor $e^x$ no se anula nunca.

3. 3

   Determina el sentido de la marcha en cada tramo. Para $x<-2$ tanto $x$ como $x+2$ son negativos, así que su producto es positivo y $f^{\prime}<0$: la curva baja. Para $-2<x<0$ el producto es negativo, así que $f^{\prime}>0$: la curva sube. Por tanto

   $x=-2\ \text{es un mínimo local},\qquad f(-2)=-2(4)e^{-2}=-\frac{8}{e^{2}}\approx -1.0827$

   y $x=0$ es el máximo en este intervalo, con $f(0)=0$.

4. 4

   Halla los puntos de inflexión a partir de la segunda derivada.

   $f^{\prime\prime}(x)=-2e^{x}\left(x^{2}+4x+2\right)$

   $x^{2}+4x+2=0\;\Longrightarrow\;x=-2\pm\sqrt2\approx -3.4142,\ -0.5858$

   con $f(-3.4142)\approx -0.7671$ y $f(-0.5858)\approx -0.3820$. La curva es cóncava hacia arriba entre ellos y cóncava hacia abajo fuera.

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   Arma el bosquejo y enuncia el recorrido. En $[-7,0]$ la gráfica arranca cerca de $-0.089$, desciende hasta el valle $\left(-2,\,-8e^{-2}\right)$ y después vuelve a subir para tocar el origen desde abajo, aplanándose al llegar porque $f^{\prime}(0)=0$. El recorrido es, por tanto,

   $\left[-\frac{8}{e^{2}},\,0\right]\approx[-1.0827,\,0]$

   Una comprobación numérica rápida confirma la forma: $f(-7)=-0.0894$, $f(-3.4142)=-0.7671$, $f(-2)=-1.0827$, $f(-0.5858)=-0.3820$, $f(0)=0\;\checkmark$.