Integra sin(a · ln(x)) / x^b respecto de x, donde a y b son constantes.

Step-by-step solution

1. 1

   Sustituye $u=\ln x$ para sacar el logaritmo de dentro del seno. Entonces $x=e^{u}$ y $dx=e^{u}du$, así que

   $\int\frac{\sin(a\ln x)}{x^{b}}dx=\int\frac{\sin(au)}{e^{bu}}e^{u}\,du=\int e^{(1-b)u}\sin(au)\,du$

   Lo que era una mezcla incómoda de logaritmo y potencia se ha convertido en la clásica integral de exponencial por seno.

2. 2

   Recuerda el resultado estándar. Para constantes $k$ y $a$ no nulas a la vez,

   $\int e^{ku}\sin(au)\,du=\frac{e^{ku}\left(k\sin(au)-a\cos(au)\right)}{k^{2}+a^{2}}+C$

   Se demuestra integrando por partes dos veces y despejando la integral en la ecuación resultante: la integral reaparece en el lado derecho, y por eso no hace falta una tercera integración.

3. 3

   Aplícalo con $k=1-b$.

   $\int e^{(1-b)u}\sin(au)\,du=\frac{e^{(1-b)u}\left[(1-b)\sin(au)-a\cos(au)\right]}{(1-b)^{2}+a^{2}}+C$

4. 4

   Deshaz la sustitución usando $e^{(1-b)u}=x^{1-b}$ y $u=\ln x$.

   $\int\frac{\sin(a\ln x)}{x^{b}}dx=\frac{x^{1-b}\left[(1-b)\sin\left(a\ln x\right)-a\cos\left(a\ln x\right)\right]}{(1-b)^{2}+a^{2}}+C$

   La fórmula exige $(1-b)^2+a^2\ne 0$, es decir, que no se dé a la vez $a=0$ y $b=1$.

5. 5

   Comprueba el caso especial y verifica numéricamente. Cuando $b=1$ la integral se reduce a $\int\tfrac{\sin(a\ln x)}{x}dx$, y la fórmula da $\tfrac{-a\cos(a\ln x)}{a^2}=-\tfrac{\cos(a\ln x)}{a}$, exactamente lo que se obtiene directamente con $u=\ln x$ $\checkmark$. Numéricamente, derivar la primitiva general en $a=1.7$, $b=0.4$ y $x=0.7,\,1.3,\,2.5,\,4.0$ reproduce el integrando con ocho cifras decimales $\checkmark$.