Usa derivación implícita para hallar dy/dx en x³ + x²y + y³ = 7.

Step-by-step solution

1. 1

   Decidir por qué hace falta la derivación implícita. La relación no se puede despejar limpiamente para $y$, así que en su lugar se derivan ambos miembros respecto de $x$ tratando $y$ como una función desconocida $y(x)$. Cada aparición de $y$ produce entonces un factor $\frac{dy}{dx}$ por la regla de la cadena.

2. 2

   Derivar el término mixto con la regla del producto. El término $x^{2}y$ es un producto de dos funciones de $x$, así que $\frac{d}{dx}\left(x^{2}y\right)=x^{2}\frac{dy}{dx}+2xy .$ Olvidarse aquí de la mitad $2xy$ es el error más común de este problema.

3. 3

   Derivar los términos restantes. La potencia pura da $\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}$; la regla de la cadena da $\frac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}\frac{dy}{dx}$; y la constante da $\frac{d}{dx}(7)=0$. Reuniéndolo todo, $3x^{2}+x^{2}\frac{dy}{dx}+2xy+3y^{2}\frac{dy}{dx}=0 .$

4. 4

   Agrupar en un mismo miembro los términos con dy/dx. Agrupando, $\left(x^{2}+3y^{2}\right)\frac{dy}{dx}=-3x^{2}-2xy .$

5. 5

   Despejar y señalar dónde falla la fórmula. Al dividir queda $\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^{2}+2xy}{x^{2}+3y^{2}} .$ Es válida siempre que $x^{2}+3y^{2}\ne 0$, es decir, en todas partes salvo en el origen, que no pertenece a la curva porque $0\ne 7$; así que la fórmula vale en todos los puntos de la curva.