Halla una cota superior para la suma de 1/(1 + n² ln n) desde n = 1 hasta infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Trata $n=1$ aparte. Como $\ln 1=0$, el primer término es $\dfrac{1}{1+0}=1$: el mayor término de toda la serie, y uno que ninguna comparación que use $\ln n$ puede cubrir. Sepáralo:

   $S=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{1+n^{2}\ln n}$

2. 2

   Suprime el $+1$ para agrandar cada término. Para $n\ge 2$ se tiene $1+n^{2}\ln n>n^{2}\ln n>0$, así que achicar el denominador agranda la fracción:

   $\frac{1}{1+n^{2}\ln n}<\frac{1}{n^{2}\ln n}$

   En un argumento de acotación todas las desigualdades deben empujar en el mismo sentido; aquí las dos lo hacen.

3. 3

   Sustituye $\ln n$ por su menor valor en el rango. Para $n\ge 2$ se cumple $\ln n\ge\ln 2$, de modo que

   $\frac{1}{n^{2}\ln n}\le\frac{1}{n^{2}\ln 2}$

   Este es el paso que convierte una incómoda serie con peso logarítmico en una $p$-serie sencilla, a costa de perder algo de precisión.

4. 4

   Suma exactamente la serie de comparación. Usando el resultado de Basilea menos su primer término,

   $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}-1\approx 0.644934$

5. 5

   Arma la cota.

   $S<1+\frac{1}{\ln 2}\left(\frac{\pi^{2}}{6}-1\right)=1+\frac{0.644934}{0.693147}=1.93044$

   La serie converge, y su suma queda con seguridad por debajo de $1.93044$.

6. 6

   Valora lo ajustada que es la cota. Sumando tres millones de términos se obtiene $S\approx 1.4976$, así que la cota se pasa en unos $0.43$. La mayor parte de la holgura viene del paso 3: sustituir $\ln n$ por $\ln 2$ es muy generoso para $n$ grande, donde $\ln n$ es mucho mayor. Partir la suma en, digamos, $n=10$ y usar $\ln 10$ a partir de ahí la ajustaría bastante.