Hallar la integral indefinida de 1 dividido entre la raíz n-ésima de Dⁿ + Ka, respecto de D, donde K, a y n son constantes.

Step-by-step solution

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   Comprobar si puede existir una respuesta elemental. Para un $n$ general, el integrando $(D^n+Ka)^{-1/n}$ no tiene primitiva elemental: solo la tienen $n = 1$ y $n = 2$. Así que el objetivo es una función especial con nombre propio, no una forma cerrada con logaritmos y raíces. Únicamente $n = 2$ saldrá elemental al final.

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   Extraer la constante para normalizar el paréntesis. Se saca $Ka$ del paréntesis para que la parte variable quede como una pequeña perturbación de $1$:

   $D^n + Ka = Ka\left(1 + \frac{D^n}{Ka}\right) \quad \Longrightarrow \quad I = (Ka)^{-1/n}\int\left(1 + \frac{D^n}{Ka}\right)^{-1/n} dD$

   Esta es la maniobra estándar: convierte una constante arbitraria en un cociente adimensional $t = D^n/(Ka)$.

3. 3

   Desarrollar con la serie binomial generalizada. Para $\left|D^n/(Ka)\right| < 1$,

   $\left(1 + u\right)^{-1/n} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\tfrac1n\right)_k}{k!}\,(-u)^k, \qquad u = \frac{D^n}{Ka}$

   donde $\left(\tfrac1n\right)_k$ es el factorial ascendente (símbolo de Pochhammer). Ahora cada término es una potencia simple de $D$.

4. 4

   Integrar término a término. Como $\int D^{nk}\,dD = \dfrac{D^{nk+1}}{nk+1}$ y $nk + 1 = n\left(k + \tfrac1n\right)$,

   $\int\left(1+\frac{D^n}{Ka}\right)^{-1/n} dD = D\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\tfrac1n\right)_k\left(\tfrac1n\right)_k}{\left(1+\tfrac1n\right)_k\,k!}\left(-\frac{D^n}{Ka}\right)^{k}$

   El factor adicional $\tfrac{1/n}{k + 1/n} = \tfrac{\left(\frac1n\right)_k}{\left(1+\frac1n\right)_k}$ que produce el $1/(nk+1)$ es justamente lo que transforma la serie binomial en una $_2F_1$.

5. 5

   Reconocer la función hipergeométrica de Gauss. Esa serie es $_2F_1\!\left(\tfrac1n,\tfrac1n;1+\tfrac1n;\,z\right)$ con $z = -D^n/(Ka)$, de modo que

   $I = \frac{D}{(Ka)^{1/n}}\;{}_2F_1\!\left(\frac1n,\ \frac1n;\ 1+\frac1n;\ -\frac{D^{n}}{Ka}\right) + C$

   Derivar numéricamente esta serie en $n = 2,\,2.5,\,3,\,4$ reproduce $(D^n+Ka)^{-1/n}$ con diez cifras decimales, lo que confirma las constantes.

6. 6

   Reducir el caso particular n = 2. Con $n = 2$ la integral es la clásica de tipo hiperbólico inverso:

   $\int\frac{dD}{\sqrt{D^2 + Ka}} = \operatorname{arcsinh}\!\left(\frac{D}{\sqrt{Ka}}\right) + C = \ln\!\left|D + \sqrt{D^2+Ka}\right| + C'$

   Las dos formas difieren únicamente en la constante $\tfrac12\ln(Ka)$, y ambas se derivan de vuelta a $(D^2+Ka)^{-1/2}$.