Demuestra que el producto infinito de (1 + x/n²) para n = 1 hasta infinito converge para todo x > 0, y halla el límite de ln de ese producto dividido entre √x cuando x tiende a infinito.

Step-by-step solution

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   Convertir el producto en una serie. Todos los factores son mayores que $1$, así que el producto converge exactamente cuando converge $\ln P(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\ln\!\left(1+\frac{x}{n^2}\right)$ Acotar productos directamente es difícil; el logaritmo pone a nuestra disposición el criterio de comparación.

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   Comparar con una serie $p$. Para $u\ge 0$, la cota elemental $\ln(1+u)\le u$ da $0\le\ln\!\left(1+\frac{x}{n^2}\right)\le\frac{x}{n^2}.$ Como $\sum 1/n^2=\pi^2/6$ converge, el criterio de comparación obliga a que $\ln P(x)$ converja para cada $x>0$ fijo, y por lo tanto el producto converge.

3. 3

   Reconocer la forma cerrada. El producto de Euler para el seno hiperbólico, $\frac{\sinh(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z^2}{n^2}\right),$ se aplica con $z=\sqrt{x}$, de modo que $P(x)=\frac{\sinh(\pi\sqrt{x})}{\pi\sqrt{x}}.$ En $x=2$ ambos lados valen $9.56675$, y en $x=9$ ambos valen $657.397$.

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   Tomar logaritmos y extraer el crecimiento. Usando $\sinh w=\tfrac12(e^{w}-e^{-w})$, $\ln P(x)=\pi\sqrt{x}-\ln 2-\ln\!\left(\pi\sqrt{x}\right)+\ln\!\left(1-e^{-2\pi\sqrt{x}}\right).$ El término dominante es $\pi\sqrt{x}$; todo lo demás es $O(\ln x)$.

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   Dividir entre $\sqrt{x}$ y pasar al límite. $\frac{\ln P(x)}{\sqrt{x}}=\pi-\frac{\ln 2+\ln(\pi\sqrt{x})}{\sqrt{x}}+o(1)\longrightarrow\pi.$ De manera equivalente, la suma es una suma de Riemann de paso $1/\sqrt{x}$ para $\int_0^{\infty}\ln(1+t^{-2})\,dt=\pi$. La suma directa en $x=10^{6}$ da $3.13285$, que converge lentamente hacia $\pi$, tal como predice la corrección $\ln x/\sqrt{x}$.