Evalúa el límite de (2x² + x − 3)/|x − 1| cuando x tiende a −2.

Step-by-step solution

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   Revisar el denominador antes de hacer nada ingenioso. Los denominadores con valor absoluto suelen anunciar un análisis lateral, pero solo cuando la expresión de dentro puede anularse en el punto límite. Aquí

   $|x-1|\ \text{se anula solo en}\ x=1,$

   y el punto límite es $x=-2$, que queda holgadamente lejos. Así que no hay ninguna forma indeterminada que resolver.

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   Resolver el valor absoluto en un entorno de $x=-2$. Para $x$ cerca de $-2$ se tiene $x-1<0$ (en $x=-2$ vale $-3$), así que en todo ese entorno

   $|x-1|=-(x-1)=1-x.$

   Reescribirlo elimina por completo el valor absoluto y muestra que cerca de $x=-2$ la función es un cociente de dos polinomios — y por lo tanto continua ahí.

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   Confirmar que la forma no es 0/0. Evaluando numerador y denominador por separado en $x=-2$:

   $2(-2)^{2}+(-2)-3=8-2-3=3,\qquad |-2-1|=|-3|=3.$

   Ninguno de los dos se anula, así que no hace falta factorizar, racionalizar ni aplicar L'Hôpital — esas herramientas existen solo para las formas indeterminadas.

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   Aplicar la sustitución directa. Como la función es continua en $x=-2$, el límite es simplemente el valor de la función:

   $\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}=\frac{3}{3}=1.$

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   Confirmar que los dos límites laterales coinciden. Acercándose por la izquierda ($x=-2.001$): $\frac{2(4.004)+(-2.001)-3}{3.001}=\frac{3.007}{3.001}\approx 1.002$. Por la derecha ($x=-1.999$): $\frac{2.993}{2.999}\approx 0.9980$. Ambos tienden a $1$ conforme el paso se reduce, así que el límite por ambos lados existe y vale $1$ ✓. Compáralo con $\lim_{x\to1}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}$, donde el valor absoluto sí obliga a que los valores por la izquierda y por la derecha sean distintos.