Resuelve la ecuación diferencial dy/dx + ay = b, donde a y b son constantes.

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica la forma estándar. La ecuación ya está escrita como $y'+P(x)y=Q(x)$ con coeficientes constantes:

   $P(x)=a,\qquad Q(x)=b$

2. 2

   Calcula el factor integrante.

   $\mu(x)=e^{\int a\,dx}=e^{ax}$

3. 3

   Multiplica toda la ecuación y compacta el miembro izquierdo.

   $e^{ax}\frac{dy}{dx}+ae^{ax}y=be^{ax}\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dx}\left(e^{ax}y\right)=be^{ax}$

4. 4

   Integra suponiendo $a\neq 0$.

   $e^{ax}y=\frac{b}{a}e^{ax}+C\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{b}{a}+Ce^{-ax}$

   La división entre $a$ es exactamente la razón por la que $a=0$ necesita un tratamiento propio.

5. 5

   Trata el caso $a=0$. La ecuación degenera en $\tfrac{dy}{dx}=b$, cuya solución es una recta:

   $y=bx+C$

6. 6

   Verifica e interpreta. Para $a\neq 0$: $y'=-aCe^{-ax}$ y $ay=b+aCe^{-ax}$, de modo que $y'+ay=b$ $\checkmark$ (confirmado numéricamente con $a=1.3$, $b=2.1$, $C=0.7$, $x=0.6$). La constante $\tfrac{b}{a}$ es el equilibrio: si $a>0$ toda solución decae hacia ella, y esa es la forma que hay detrás de la ley de enfriamiento de Newton y de la carga de un circuito RC.