Halla la derivada de f(x) = x²/2 + cos 5x.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa la suma. La derivación es lineal, así que trata $\dfrac{x^2}{2}$ y $\cos 5x$ por separado y suma los resultados.

2. 2

   Deriva el término cuadrático. $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^2}{2}\right)=\dfrac{2x}{2}=x$.

3. 3

   Deriva el coseno con la regla de la cadena. La función interior es $u=5x$, cuya derivada es $5$. Como $\dfrac{d}{du}\cos u=-\sin u$, $\frac{d}{dx}\cos 5x=-\sin(5x)\cdot 5=-5\sin 5x.$ Olvidar el factor interior $5$ — o perder el signo menos — es el error habitual aquí.

4. 4

   Reúne las dos partes. $f\'(x)=x-5\sin 5x.$

5. 5

   Verifica numéricamente. En $x=0.7$ la fórmula da $0.7-5\sin 3.5=0.7-5(-0.3507832)=2.453916$, y un cociente de diferencias central de $f$ en $x=0.7$ coincide hasta la sexta cifra decimal.