Calcular la integral de x = 0 a 1 de la integral de y = x a √(2 − x²) de x/√(x² + y²) dy dx cambiando el orden de integración.

Step-by-step solution

1. 1

   Dibujar la región. Los límites dicen que $0\le x\le 1$ y $x\le y\le\sqrt{2-x^2}$: la región queda por encima de la recta $y=x$, dentro de la circunferencia $x^2+y^2=2$ y a la izquierda de $x=1$. La recta corta a la circunferencia en $(1,1)$, así que la región es un sector curvo con vértices $(0,0)$, $(0,\sqrt2)$ y $(1,1)$.

2. 2

   Invertir el orden con cuidado: la región exige dos franjas. Para un $y$ fijo el borde izquierdo es siempre $x=0$. Para $0\le y\le 1$ el borde derecho es la recta $x=y$; para $1\le y\le\sqrt2$ el borde derecho es la circunferencia $x=\sqrt{2-y^2}$. Por lo tanto $I=\int_0^1\!\!\int_0^{y}\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dy+\int_1^{\sqrt2}\!\!\int_0^{\sqrt{2-y^2}}\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dy.$ Escribir una única franja con $x$ desde $y$ hasta $\sqrt{2-y^2}$ describiría en cambio la región que queda por debajo de $y=x$, y es la trampa habitual en este ejercicio.

3. 3

   Hacer la integral interior una sola vez. Con $u=x^2+y^2$, $du=2x\,dx$, $\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{x^2+y^2}.$

4. 4

   Evaluar las dos franjas. Primera franja: $\left[\sqrt{x^2+y^2}\right]_0^{y}=\sqrt2\,y-y$, así que $\int_0^1(\sqrt2-1)y\,dy=\dfrac{\sqrt2-1}{2}$. Segunda franja: $\left[\sqrt{x^2+y^2}\right]_0^{\sqrt{2-y^2}}=\sqrt2-y$, así que $\int_1^{\sqrt2}(\sqrt2-y)\,dy=2-\sqrt2-\dfrac12$.

5. 5

   Sumarlas. $I=\frac{\sqrt2-1}{2}+\left(\frac32-\sqrt2\right)=1-\frac{\sqrt2}{2}\approx 0.292893.$

6. 6

   Confirmar en coordenadas polares. Con $x=\rho\cos\theta$ el integrando es simplemente $\cos\theta$ y $dA=\rho\,d\rho\,d\theta$. En $\tfrac\pi4\le\theta\le\tfrac\pi2$ la restricción $x\le 1$ no aprieta (ya que $\sec\theta\ge\sqrt2$), así que $\rho$ va de $0$ a $\sqrt2$: $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\!\!\int_0^{\sqrt2}\cos\theta\,\rho\,d\rho\,d\theta=\bigl[\sin\theta\bigr]_{\pi/4}^{\pi/2}=1-\frac{\sqrt2}{2}.$