Decidir si es verdadero: si la serie de términos agrupados (a_{3n−2} + a_{3n−1} + a_{3n}) converge y a_n tiende a 0, entonces la serie de a_n converge. Demostrarlo o dar un contraejemplo.

Step-by-step solution

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   Traducir ambas hipótesis a enunciados sobre sumas parciales. Sea $S_N=\sum_{k=1}^{N}a_k$. Agrupar los términos de tres en tres no reordena ni omite nada, así que la $n$-ésima suma parcial de la serie agrupada es exactamente

   $\left(a_1+a_2+a_3\right)+\cdots+\left(a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}\right)=S_{3n}$

   Entonces la primera hipótesis dice precisamente que la subsucesión $S_{3n}$ converge, hacia cierto límite $S$.

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   Reconocer lo que todavía falta. Que una subsucesión converja no hace por sí solo que converja la sucesión completa: hay que mostrar que las demás sumas parciales, $S_{3n+1}$ y $S_{3n+2}$, se acercan al mismo límite. Para eso sirve exactamente la segunda hipótesis.

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   Tratar las dos sumas parciales intermedias.

   $S_{3n+1}=S_{3n}+a_{3n+1},\qquad S_{3n+2}=S_{3n}+a_{3n+1}+a_{3n+2}$

   Como $a_k\to 0$, se tiene $a_{3n+1}\to 0$ y $a_{3n+2}\to 0$, de modo que

   $S_{3n+1}\to S+0=S,\qquad S_{3n+2}\to S+0+0=S$

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   Combinar las tres subsucesiones. Todo índice $N$ es de la forma $3n$, $3n+1$ o $3n+2$, y las tres subsucesiones de $\{S_N\}$ tienden al mismo límite $S$. Una sucesión cuyos índices se reparten en un número finito de subsucesiones que convergen todas a $S$ converge ella misma a $S$:

   $\lim_{N\to\infty}S_N=S\quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}a_n=S$

   $\boxed{\text{El enunciado es VERDADERO}}$

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   Notar por qué no se puede prescindir de la segunda hipótesis. Sin $a_n\to 0$ la afirmación falla: tómese $a_n=1,-1,0,1,-1,0,\ldots$; cada grupo de tres suma $0$, así que la serie agrupada converge, pero las sumas parciales $S_N$ recorren cíclicamente $1,0,0,1,0,0,\ldots$ y nunca se estabilizan. Aquí $a_n\not\to 0$, que es justamente la salida que la hipótesis cierra.

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   Cuidado con un «contraejemplo» muy difundido. Algunas soluciones publicadas ofrecen $a_n=\tfrac{(-1)^n}{n}$ como contraejemplo, pero $\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ converge (a $-\ln 2$) por el criterio de series alternadas, así que no refuta nada. Cualquier contraejemplo genuino tendría que violar una de las dos hipótesis, y por la demostración de arriba no existe ninguno.