Hallar la integral de x³ sen(7x⁴ + 3) dx.

Step-by-step solution

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   Elegir la sustitución en lugar de la integración por partes. Ante un producto el reflejo es integrar por partes, pero aquí el factor exterior $x^{3}$ es (salvo una constante) exactamente la derivada del interior del seno. Esa es la firma de una sustitución en $u$, y la integración por partes solo empeoraría la integral.

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   Plantear la sustitución. Sea

   $u=7x^{4}+3\qquad\Longrightarrow\qquad du=28x^{3}\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad x^{3}\,dx=\frac{du}{28}$

   La constante $\tfrac1{28}$ es la que absorbe el desajuste entre $x^{3}$ y $28x^{3}$.

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   Reescribir la integral por completo en $u$.

   $\int x^{3}\sin\!\left(7x^{4}+3\right)dx=\frac{1}{28}\int\sin u\,du$

   No queda ninguna $x$, y esa es la comprobación de que la sustitución era la correcta.

4. 4

   Integrar y deshacer la sustitución. Como $\displaystyle\int\sin u\,du=-\cos u$:

   $\frac{1}{28}\left(-\cos u\right)+C=-\frac{\cos\!\left(7x^{4}+3\right)}{28}+C$

   El signo menos viene de la primitiva del seno y es lo más fácil de perder aquí.

5. 5

   Verificar derivando de vuelta. Por la regla de la cadena,

   $\frac{d}{dx}\left[-\frac{\cos\!\left(7x^{4}+3\right)}{28}\right]=\frac{\sin\!\left(7x^{4}+3\right)\cdot28x^{3}}{28}=x^{3}\sin\!\left(7x^{4}+3\right)\ \checkmark$

   Una derivada numérica lo confirma en $x=0.4$, $0.9$ y $1.3$ con un error menor que $10^{-5}$ ✓. El $28$ se cancela exactamente, que es toda la razón por la que se eligió así la constante.