Halla la derivada de x³ + 2x² − 5x.

Step-by-step solution

1. 1

   Deriva término a término. La derivación es lineal, así que una suma se puede tratar término por término y cualquier múltiplo constante simplemente viaja acompañando:

   $\frac{d}{dx}\bigl(u + v\bigr) = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(cu\bigr) = c\,\frac{du}{dx}$

2. 2

   Aplica la regla de la potencia al término cúbico. La regla de la potencia es

   $\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$

   así que

   $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$

   El exponente pasa al frente y baja en una unidad; no se queda en $3$.

3. 3

   Trata el término cuadrático con su coeficiente.

   $\frac{d}{dx}\left(2x^2\right) = 2 \cdot 2x = 4x$

   El $2$ de delante no lo toca la regla de la potencia; solo se deriva el $x^2$, que da $2x$, y los coeficientes se multiplican para dar $4$.

4. 4

   Trata el término lineal. Con $n = 1$ la regla de la potencia da $\frac{d}{dx}x = 1$, así que

   $\frac{d}{dx}(-5x) = -5$

   Un término lineal siempre deriva a su propio coeficiente; y si hubiera habido un término constante, habría derivado a $0$.

5. 5

   Reúne los trozos y comprueba. Sumando las tres partes:

   $f'(x) = 3x^2 + 4x - 5$

   Comprobación numérica con una diferencia centrada en $x = 2.5$: $\frac{f(2.5 + h) - f(2.5 - h)}{2h} \approx 23.75$ para $h$ pequeño, y $3(2.5)^2 + 4(2.5) - 5 = 18.75 + 10 - 5 = 23.75$. Como extra, $f'(x) = 0$ no se factoriza sobre los racionales: la fórmula general da $x = \frac{-2 \pm \sqrt{19}}{3}$, así que la cúbica tiene puntos de tangente horizontal en $x \approx 0.786$ y $x \approx -2.120$.