Resuelve la ecuación diferencial dy/dx + √(1 + (dy/dx)²) = eˣ.

Step-by-step solution

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   Sustituye la derivada por un solo símbolo. Haz $p=\dfrac{dy}{dx}$, con lo que la ecuación queda

   $p+\sqrt{1+p^{2}}=e^{x}$

   Observa que $y$ no aparece nunca por sí misma: la ecuación determina $p$ algebraicamente en cada $x$, y solo después hace falta una integración. Esta es toda la razón por la que una ecuación así resulta tratable.

2. 2

   Aísla el radical antes de elevar al cuadrado. Elevar al cuadrado la ecuación tal como está dejaría un término cruzado; aislarlo primero lo evita:

   $\sqrt{1+p^{2}}=e^{x}-p$

   Para que la raíz cuadrada sea no negativa se necesita $e^{x}\ge p$, una condición que hay que confirmar al final.

3. 3

   Eleva al cuadrado y observa cómo se cancela $p^{2}$.

   $1+p^{2}=e^{2x}-2e^{x}p+p^{2}\ \Longrightarrow\ 1=e^{2x}-2e^{x}p$

   Los términos cuadráticos desaparecen y queda una ecuación lineal para $p$: esa cancelación es lo que permite resolver el problema en forma cerrada.

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   Despeja $p$ y reconoce el seno hiperbólico.

   $2e^{x}p=e^{2x}-1\ \Longrightarrow\ p=\frac{e^{2x}-1}{2e^{x}}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh x$

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   Integra una sola vez.

   $y=\int\sinh x\,dx=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+C=\cosh x+C$

   Una única constante arbitraria es lo correcto para una ecuación de primer orden.

6. 6

   Comprueba la solución y la condición del cuadrado. Con $p=\sinh x$: $p+\sqrt{1+\sinh^{2}x}=\sinh x+\cosh x=e^{x}$ ✓ (usando $\cosh^{2}-\sinh^{2}=1$ y $\cosh x>0$). La condición $e^{x}-p=\cosh x>0$ se cumple para todo $x$, así que elevar al cuadrado no introdujo ninguna solución espuria. Numéricamente en $x=2$: $\sinh 2+\cosh 2=3.6269+3.7622=7.3891=e^{2}$ ✓.