Usar derivación logarítmica para hallar la derivada de y = (sin x)^(cos x).

Step-by-step solution

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   Ver por qué fallan las reglas habituales. La regla de la potencia $\frac{d}{dx}u^n = nu^{n-1}u'$ exige un exponente constante, y la regla exponencial $\frac{d}{dx}a^u = a^u \ln a \cdot u'$ exige una base constante. Aquí varían tanto la base como el exponente, así que ninguna de las dos aplica y la derivación logarítmica es la herramienta adecuada.

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   Tomar el logaritmo natural en ambos miembros. El logaritmo convierte el exponente en un factor:

   $\ln y = \cos x \cdot \ln(\sin x)$

   Esto vale en los intervalos donde $\sin x > 0$, por ejemplo $0 < x < \pi$, que es también donde la expresión original está definida para exponentes reales arbitrarios.

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   Derivar ambos miembros de forma implícita. A la izquierda, la regla de la cadena da $\dfrac{y'}{y}$. A la derecha, se aplica la regla del producto a $\cos x$ y $\ln(\sin x)$:

   $\frac{y'}{y} = (-\sin x)\ln(\sin x) + \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

   La derivada de $\ln(\sin x)$ es $\dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ por la regla de la cadena — este es el término que más se olvida.

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   Ordenar el miembro derecho.

   $\frac{y'}{y} = \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)$

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   Multiplicar de nuevo por $y$. Se reemplaza $y$ por la expresión original — dejar la respuesta en términos de $y$ es dejarla incompleta:

   $y' = (\sin x)^{\cos x}\left(\frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)\right)$

   De forma equivalente, $y' = (\sin x)^{\cos x}\bigl(\cos x \cot x - \sin x \ln \sin x\bigr)$.

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   Verificar en un punto conveniente. En $x = \tfrac{\pi}{4}$: $\sin x = \cos x = \tfrac{\sqrt2}{2} = 0.707107$, así que $(\sin x)^{\cos x} = 0.707107^{0.707107} = 0.782654$. El paréntesis vale $\dfrac{0.5}{0.707107} - 0.707107\ln(0.707107) = 0.707107 + 0.245064 = 0.952171$. Su producto es $0.745221$. Una derivada simbólica evaluada en $\tfrac{\pi}{4}$ da $0.745221$ — la pequeña diferencia es solo el redondeo de las cifras escritas a mano arriba; arrastrando más dígitos ($0.7826540 \times 0.9521713$) se reproduce $0.7452207$ ✓.