Halla la serie de Taylor de f(x) = ln(√(x² + 1) + x) en torno a x = 0. Da los primeros términos no nulos, una fórmula para el término general y el intervalo de convergencia.

Step-by-step solution

1. 1

   Reconoce la función antes de derivar nada. La combinación $\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ es la forma logarítmica estándar del seno hiperbólico inverso,

   $\operatorname{arsinh}x=\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right),$

   de modo que $f(x)=\operatorname{arsinh}x$. Esto importa porque calcular $f^{(n)}(0)$ directamente a partir del logaritmo es brutal, mientras que $\operatorname{arsinh}$ tiene una derivada sencillísima. Siempre que un desarrollo de Maclaurin parezca desagradable, comprueba si la derivada es el objeto amable.

2. 2

   Deriva una vez y observa cómo se desploma el logaritmo. Por la regla de la cadena,

   $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\cdot\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}.$

   El paréntesis $x+\sqrt{x^2+1}$ cancela exactamente el denominador y deja

   $f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=(1+x^2)^{-1/2}.$

   Esa cancelación es toda la razón por la que este problema resulta fácil.

3. 3

   Desarrolla la derivada con la serie binomial. Para $|t|<1$,

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n}.$

   Toma $t=x^{2}$ y $\alpha=-\tfrac12$:

   $(1+x^2)^{-1/2}=1-\frac12x^2+\frac38x^4-\frac{5}{16}x^6+\frac{35}{128}x^8-\cdots$

   Solo aparecen potencias pares, lo que ya anuncia que $f$ tendrá únicamente potencias impares, coherente con que $f$ sea una función impar.

4. 4

   Integra término a término usando $f(0)=0$. Como $f(0)=\ln 1=0$, se tiene $f(x)=\int_0^x f'(t)\,dt$, y una serie de potencias puede integrarse término a término dentro de su radio de convergencia:

   $f(x)=x-\frac12\cdot\frac{x^3}{3}+\frac38\cdot\frac{x^5}{5}-\frac{5}{16}\cdot\frac{x^7}{7}+\frac{35}{128}\cdot\frac{x^9}{9}-\cdots$

   $f(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{3x^{5}}{40}-\frac{5x^{7}}{112}+\frac{35x^{9}}{1152}-\cdots$

5. 5

   Escribe el término general. Integrar $\binom{-1/2}{n}x^{2n}$ da $\binom{-1/2}{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$, y $\binom{-1/2}{n}=(-1)^n\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}$, de modo que

   $\ln\!\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}\,x^{2n+1}.$

   Comprueba los dos primeros coeficientes: $n=0$ da $x$, y $n=1$ da $-\frac{2}{4\cdot 1\cdot 3}x^3=-\frac{x^3}{6}$. ✓

6. 6

   Fija el intervalo de convergencia y contrasta la respuesta numéricamente. La serie binomial de $(1+x^2)^{-1/2}$ exige $|x^2|<1$, es decir $|x|<1$; en $x=\pm1$ la serie integrada tiene términos de tamaño $\sim n^{-3/2}$ y converge absolutamente, así que el intervalo es $[-1,1]$. Comprobación numérica en $x=0.2$: los cinco términos escritos dan $0.198690110\ldots$ frente a $\operatorname{arsinh}(0.2)=0.198690110\ldots$ ✓