Calcula la integral triple de −5y con x de −1 a 1, y de 0 a √(9 − x²) y z de 0 a 9 − x² − y². Da una respuesta exacta.

Step-by-step solution

1. 1

   Integra primero en z, ya que el integrando no contiene z. Como $-5y$ es constante respecto de $z$, la integral interior es simplemente el integrando por la altura de la columna: $\int_0^{9-x^2-y^2}(-5y)\,dz=-5y\left(9-x^2-y^2\right)$.

2. 2

   Introduce una abreviatura para el radio que depende de x. Toma $a^2=9-x^2$, con lo que los límites en $y$ van de $0$ a $a$ y el integrando pasa a ser $-5y(a^2-y^2)=-5\left(a^2y-y^3\right)$. Nombrar $a$ mantiene el álgebra legible y muestra por qué la integral en $y$ tiene una forma tan limpia.

3. 3

   Haz la integral en y. $\int_0^{a}\left(a^2y-y^3\right)dy=\frac{a^2\cdot a^2}{2}-\frac{a^4}{4}=\frac{a^4}{4}$, así que el resultado de las dos integraciones interiores es $-\frac{5a^4}{4}=-\frac54\left(9-x^2\right)^2$.

4. 4

   Desarrolla y aprovecha la paridad en x. $\left(9-x^2\right)^2=81-18x^2+x^4$ es par, de modo que $\int_{-1}^{1}=2\int_{0}^{1}$. La integral exterior queda $-\frac54\cdot 2\int_0^1\left(81-18x^2+x^4\right)dx$.

5. 5

   Evalúa la última integral. $\int_0^1\left(81-18x^2+x^4\right)dx=\left[81x-6x^3+\frac{x^5}{5}\right]_0^1=81-6+\frac15=\frac{376}{5}$.

6. 6

   Combina para obtener el valor exacto. $-\frac54\cdot 2\cdot\frac{376}{5}=-\frac52\cdot\frac{376}{5}=-188$.

7. 7

   Comprobación numérica. La integración numérica adaptativa de la integral triple original devuelve $-188.000000$ (con error estimado $2\times10^{-12}$), que coincide con el valor exacto.