Resuelve la ecuación diferencial en derivadas parciales dC/dt = D * d2C/dx2 - k*C.

Step-by-step solution

1. 1

   Leer la física contenida en los dos términos. $D\,C_{xx}$ es difusión ordinaria y $-kC$ es decaimiento de primer orden: la sustancia se dispersa mientras a la vez desaparece a una tasa proporcional a la cantidad presente. Los dos mecanismos son independientes, lo que sugiere que la solución debería factorizarse en una parte de decaimiento por una parte de difusión.

2. 2

   Hacer la sustitución que despega el decaimiento. Se define

   $C(x,t)=e^{-kt}u(x,t)$

   Entonces $C_{t}=e^{-kt}\left(u_{t}-ku\right)$ y $C_{xx}=e^{-kt}u_{xx}$, porque la exponencial no depende de $x$.

3. 3

   Sustituir y cancelar. La ecuación queda

   $e^{-kt}\left(u_{t}-ku\right)=De^{-kt}u_{xx}-ke^{-kt}u$

   Dividiendo entre $e^{-kt}$ (que nunca es cero) se obtiene $u_{t}-ku=Du_{xx}-ku$, y los términos $-ku$ se cancelan en ambos lados:

   $u_{t}=Du_{xx}$

   El término de decaimiento desaparece de manera exacta, no aproximada, así que toda solución conocida de la ecuación del calor se traslada aquí.

4. 4

   Resolver el problema reducido por separación de variables. Escribiendo $u=X(x)T(t)$ y dividiendo entre $XT$:

   $\frac{T'}{T}=D\frac{X''}{X}=-\lambda$

   de donde $T(t)=e^{-\lambda t}$ y $X''+\dfrac{\lambda}{D}X=0$. Para $\lambda>0$ esto da $X=A\cos\sqrt{\lambda/D}\,x+B\sin\sqrt{\lambda/D}\,x$; los $\lambda$ admisibles quedan fijados por las condiciones de frontera.

5. 5

   Armar la solución general separada. Deshaciendo la sustitución,

   $C(x,t)=e^{-kt}\sum_{n}\left(A_{n}\cos\sqrt{\tfrac{\lambda_{n}}{D}}x+B_{n}\sin\sqrt{\tfrac{\lambda_{n}}{D}}x\right)e^{-\lambda_{n}t}$

   con los coeficientes $A_{n},B_{n}$ determinados por el perfil inicial $C(x,0)$.

6. 6

   Revisar los casos límite. Si $k=0$ la sustitución es trivial y la ecuación es la ecuación del calor pura ✓. Si $D=0$ la ecuación se reduce a $C_{t}=-kC$, cuya solución $C=C_{0}e^{-kt}$ es exactamente lo que predice la sustitución con $u$ constante ✓. Cada modo decae a la tasa combinada $k+\lambda_{n}$, así que decaimiento y difusión simplemente se suman en el exponente.