Hallar el límite de ln(n)/n² cuando n tiende a infinito.

Step-by-step solution

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   Identificar la forma indeterminada. Cuando $n\to\infty$ se tiene $\ln n\to\infty$ y $n^{2}\to\infty$, así que el cociente es del tipo $\infty/\infty$. Esa forma no tiene valor automático: la respuesta depende de cuál parte crece más rápido, así que hace falta una herramienta de comparación y no una sustitución directa.

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   Aplicar una vez la regla de L'Hôpital. Tratando $n$ como variable continua, se derivan numerador y denominador por separado:

   $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n^{2}}=0$

   Con una sola aplicación basta, porque derivar $\ln n$ destruye por completo el logaritmo mientras que el denominador sigue siendo una potencia.

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   Revisar el orden de crecimiento como control. El resultado es un caso de un hecho general: $\ln n$ crece más despacio que $n^{p}$ para todo $p>0$, así que $\ln n/n^{p}\to0$ siempre. Numéricamente $\ln(10^{6})/(10^{6})^{2}\approx1.4\times10^{-11}$: ya es prácticamente cero ✓.

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   Ubicar el máximo, para no confundir el decaimiento con un descenso monótono. Con $f(n)=\ln n\cdot n^{-2}$, la regla del producto da

   $f'(n)=\frac{1}{n}\cdot n^{-2}+\ln n\cdot(-2)n^{-3}=\frac{1-2\ln n}{n^{3}}$

   que se anula en $\ln n=\tfrac12$, es decir $n=\sqrt{e}\approx1.6487$. Así que $f$ sube hasta $n\approx1.65$ y solo después decae a $0$. Una derivada numérica coincide con esta fórmula en $n=2,5,9$ hasta $10^{-6}$ ✓.

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   Notar qué implica —y qué no implica— el límite sobre la serie. Que los términos tiendan a $0$ es necesario pero no suficiente para la convergencia. Aquí la convergencia sí se cumple, por comparación: para $n$ grande, $\ln n<n^{1/2}$, así que $\dfrac{\ln n}{n^{2}}<\dfrac{1}{n^{3/2}}$, y $\sum n^{-3/2}$ es una $p$-serie convergente con $p=3/2>1$.

   El valor de la suma es $-\zeta'(2)\approx0.93755$; sumar los primeros dos millones de términos da $0.9375405$ ✓.