Sea f(x) = x² + 2x − 3 para x < 2 y f(x) = ax + 1 para x ≥ 2. Determina el valor de a que hace continua a f en x = 2.

Step-by-step solution

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   Escribe qué exige la continuidad en un punto. Una función es continua en $x=2$ exactamente cuando estos tres valores existen y coinciden:

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2)=\lim_{x\to 2^+}f(x)$

   Cada trozo es un polinomio, así que es continuo en su propio lado; lo único que puede fallar es un desajuste en el empalme $x=2$.

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   Calcula el límite por la izquierda con el primer trozo. Para $x<2$ la regla es $f(x)=x^2+2x-3$, un polinomio, así que el límite es simplemente su valor en $2$:

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=2^2+2(2)-3=4+4-3=5$

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   Calcula el valor y el límite por la derecha con el segundo trozo. La segunda regla rige para $x\ge 2$, así que proporciona tanto $f(2)$ como el límite por la derecha:

   $f(2)=2a+1,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=2a+1$

   Como la desigualdad es $x\ge 2$ y no $x>2$, la función ya está definida en el empalme: no hay ningún hueco que rellenar, solo un salto que cerrar.

4. 4

   Iguala los dos lados y despeja. La continuidad obliga a que

   $2a+1=5\qquad\Longrightarrow\qquad 2a=4\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{a=2}$

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   Verifica reescribiendo la función. Con $a=2$,

   $f(x)=\begin{cases} x^2+2x-3, & x<2\\ 2x+1, & x\ge 2\end{cases}$

   Acercándose por la izquierda, $f(1.99)=4.9401$; por la derecha, $f(2.01)=5.02$; y $f(2)=5$. La gráfica se une sin salto. Observa que lo único que se logra es la continuidad: la derivada por la izquierda es $2x+2=6$ en $x=2$, mientras que la derivada por la derecha es $2$, así que la gráfica sigue teniendo un pico ahí; ningún valor de $a$ puede hacerla derivable.