Calculus
Перетащите или нажмите , чтобы добавить изображения
Real calculus questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
У уравнения ровно три корня: x ≈ 1.28378, 2.49096 и 3.58430. При x > 1 + e^1.5 ≈ 5.48 логарифмическое слагаемое превышает 3, поэтому пересечений больше нет.
Решения: x(t) = 1/(C − 2t²) плюс постоянное решение x = 0, которое теряется при делении на x². Полный вывод и проверка.
f(0) = 1, период колебаний равен 2π, а огибающие — это кривые y = ±e^(−αx). Знак α решает, затухают колебания, держатся постоянными или нарастают.
Первообразная cos²x равна x/2 + sin(2x)/4 + C. Квадрат заменяется формулой понижения степени, интегрируются два простых слагаемых.
Ответ: D(Ka)^(−1/n)·₂F₁(1/n,1/n;1+1/n;−Dⁿ/Ka)+C. Для n=2 — арксинус гиперболический. Выносится Ka, раскрывается биномиальный ряд, интегрируется почленно.
Ответ: x^(1−b)[(1−b)sin(a ln x) − a cos(a ln x)]/((1−b)^2 + a^2) + C. Решение — замена u = ln x и стандартная формула для экспоненты на синус.
F(x) = (1/2)·ln(2x + 1), а F((e² − 1)/2) = 1. Делаем замену u = 2x + 1, из условия F(0) = 0 получаем C = 0, и выражение 2x + 1 сворачивается в e².
Площадь, ограниченная y = x² и y = x + 2, равна 9/2. Находим точки пересечения, интегрируем (x + 2) − x² от −1 до 2.
Площадь между y = 4x - x² и y = x равна 9/2. Находим точки пересечения, задаём двойной интеграл, вычисляем по вертикальным полосам.
Площадь фигуры между x² + y² = 7y и x² + y² = 9y, отсечённой прямыми y = x/√3 и x = 0, равна 8π/3 + 2√3 ≈ 11.84. Составляем и вычисляем интеграл площади.
Среднее изменение функции x³ от 3 до 5 равно 49. Вычисляется по формуле (125−27)/2. Это угловой коэффициент секущей через эти точки.
Сумма 1/n^2 от n=1 до бесконечности равна $π^2/6 ≈ 1,644934$. Это сходящийся p-ряд, точное значение нашёл Эйлер.
Общее решение: y³ = 1/(1+C(1+t²)), также y ≡ 0. Подстановка v = y⁻³ превращает уравнение Бернулли в линейное с интегрирующим множителем 1/(1+t²).
Ответ: сумма (−1)^n C(k,n) x^n, радиус сходимости |x|<1. Каждый минус появляется из подстановки −x в биномиальную формулу.
В точке x = 1 разрыв устранимый — дырка в (1, −2), а x = 2 даёт разрыв второго рода с вертикальной асимптотой. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Сумма равна e^(1+2/n)·(e^2−1)/(e^(2/n)−1). Применяется формула конечной геометрической прогрессии с знаменателем e^(2/n).
Ответ: 0. По теореме Грина интеграл сводится к двойному интегралу от eʸ−eʸ=0 по области, ограниченной треугольником, поэтому результат всегда равен нулю.
Ряд f(x) = Σ sin(nx)/(n ln n) непрерывен в x = 0, так как обе части суммы стремятся к нулю при x → 0: первая ограничивается через 1/(√N ln 2) + 2/ln N, вторая — через 2π/ln(N+1).
Ряд ∑ 1/(1+n(ln n)^2) сходится по сравнению с рядом Бертрана; точного выражения нет, сумма примерно 2,4919.
Ряд абсолютно сходится при α > 1, условно сходится при 1/2 < α ≤ 1, расходится при 0 < α ≤ 1/2. Всё решает второй член разложения ln(1+x).
Интеграл абсолютно сходится при p > 2, условно сходится при 1 < p ≤ 2 и расходится при p ≤ 1. Подробное объяснение с заменой переменных и признаком Дирихле.
Критические точки функции —4 и 2, меньшая из них — –4. Производная равна x²+2x–8, разложение на множители даёт (x+4)(x–2)=0.
Кривая нигде не поднимается выше оси x: минимум в точке (−2, −8/e²) ≈ −1,083, максимум в начале координат, при x → −∞ стремится к 0 снизу.
Ответ: 2π (примерно 6,2832). Интеграл от 1 по x на отрезке [0; 2π] равен длине интервала: верхний предел минус нижний.
Значение определённого интеграла — 876.93758. Слагаемое с экспонентой даёт 20.67158, постоянное — 856.266. Ошибочное значение 876.93843 связано с округлением.
Значение определённого интеграла sin²x cos⁴x от π/8 до π/12 — (7−π−3√3−2√2)/384 ≈ −0,010849. Минус возникает из-за обратного порядка пределов.
Ответ: π/6 ≈ 0,5235988. Подстановка u = x³ сводит интеграл к функции Бета B(1/2, 3/2)/3, которая выражается через Гамма-функции как π/6.
Интеграл x от 0 до 4 равен 8. Находим первообразную, подставляем пределы, сверяем с площадью треугольника под y = x.
Точное значение интеграла — π + 16π(J₂(1) − J₃(1)) ≈ 7.93391. Половина даёт площадь полукруга, x²cos(x/2) — момент Бесселя.
Значение определённого интеграла x²e^(−x) от 0 до 1 равно 2 − 5/e ≈ 0,160603. Решение — дважды по частям, итоговая первообразная: −(x²+2x+2)e^(−x).
Ответ: 10/3 (примерно 3,33). Интегрируем по частям, применяем основную теорему анализа: получаем 10/3.
Точное значение интеграла x² sin x от 0 до 2: 4 sin 2 − 2 cos 2 − 2 (примерно 2,47). При произвольных пределах остаются синус и косинус.
Интеграл x²·sin(x) от 0 до π равен π²−4 ≈ 5,87. Решается дважды по частям: степень понижается, синус исчезает на концах.
Интеграл в точности равен π. Слагаемое x³·cos(x/2) нечётно и даёт 0, а остаток равен половине площади круга радиуса 2, то есть 2π, умноженной на 1/2.
Экспоненциальные решения — f(x) = Ce^(rx), где r e^(r) = 1, то есть r = W(1) ≈ 0,567143. Характеристическое уравнение неалгебраическое из-за задержки.
Производная равна 3x² − 6x + 2, а интеграл от 0 до 3 равен 9/4. Сначала правило степени, затем формула Ньютона—Лейбница для площади со знаком.
Область определения — все действительные числа, производная: y' = -2sin(x). Число 2 выносится за знак производной, косинус дифференцируется в минус синус.
y' = 30x² − 2x + 4, уравнение y' = 0 не имеет вещественных решений (D = -119 < 0), значит, у кубической функции нет горизонтальных касательных.
Производная функции 2e^(3x) равна 6e^(3x). Экспонента воспроизводит себя, правило цепочки даёт множитель 3, а двойка остаётся.
Ответ: 6x². После раскрытия скобок и сокращения деление на h даёт 6x²+6xh+2h², предел при h→0 равен 6x².
Правильная производная: 10(2x+1)^4(x^2-1)^3 + 6x(2x+1)^5(x^2-1)^2 (вариант B). Каждый дифференцируемый множитель даёт свою внутреннюю производную.
Ответ: h′(x) = 2(2x+1)⁴(x²−1)²(11x²+3x−5). Используется правило произведения и цепное правило, затем выносится общий множитель.
Ответ: 36x²cos(4x³+5)√(5(4x+5/x)) + 3sin(4x³+5)(20–25/x²)/(2√(5(4x+5/x))). Решено по правилу произведения и цепочке.
Ответ: dy/dx = −30x·sin(3x²). Внешний косинус даёт −sin, внутренний 3x² — множитель 6x, вместе с 5 получается −30x·sin(3x²).
Ответ: производная — e^x[(ln(x²+1)+2x/(x²+1))(√(sin x)+2)−ln(x²+1)cos x/(2√(sin x))]/(√(sin x)+2)².
Ответ: 4x³/√(1−x⁸). Производная arcsin(x⁴) находится по формуле для арксинуса и цепному правилу. В знаменателе — 1−x⁸, в числителе — 4x³.
Ответ: dy/da = -e^(-a/2)/(2(1+e^(-a))) = -e^(a/2)/(2(e^(a)+1)). Квадрат e^(-a/2) даёт e^(-a), что упрощает знаменатель.
Производная функции cos(√(2x+1)) равна −sin(√(2x+1))/√(2x+1) при x > −1/2. Применяется правило цепочки дважды, множители 2 и 1/2 сокращаются.
Производные: f'(x) = e^(−x²)(3cos3x − 2x sin3x), f''(x) = e^(−x²)((4x²−11)sin3x − 12x cos3x). Используются правило произведения и цепное правило.
Ответ: (e^x(x−3)−3)/x^4. Запись дроби как (e^x+1)x^(−3) позволяет обойтись без громоздкого правила дроби и использовать правило произведения.
Ответ: 1/(x + eπ). Используется правило цепочки и упрощение сложной дроби.
Производная ln(3x²) равна 2/x. По цепному правилу получаем 6x/(3x²), тройка сокращается, как и предсказывает формула ln(3x²) = ln 3 + 2 ln x.
Ответ: 1/√(x²−a²). Числитель по цепному правилу совпадает с аргументом логарифма — это производная арккосинуса гиперболического.
Производная функции y = log(sin x) равна cot x. Используем правило цепочки: логарифм по синусу, затем cos x делим на sin x.
Ответ: y' = x·cos(3,14/3 - x²), область определения — все x. Внутренняя производная равна -2x, минусы сокращаются, коэффициент при x становится положительным.
y' = 3x^11 + 18x^5 − 1. Дробный коэффициент 1/4 умножается на показатель 12 и даёт 3, а постоянное слагаемое 10 в производную не входит. Разбор по шагам.
y' = (1/2)x^4 + 4x^3 + 3. Старший коэффициент превращается в 5/10 = 1/2, а не в 2, а иррациональная константа √3 дифференцируется в ноль, как и любое число.
Производная равна 2 sin x cos x, что по формуле двойного угла записывается как sin 2x. Читайте sin²x как (sin x)², тогда внешняя функция — возведение в квадрат.
Производная равна f′(t) = sin 3t + 3t·cos 3t. Правило произведения разбивает задачу на две части, а цепное правило добавляет множитель 3 от внутренней функции 3t.
Производная равна 0. Выражение 1/0.3 = 10/3 не содержит переменной, значит это постоянная функция: её график — горизонтальная прямая, а наклон всюду нулевой.
g′(5) = 1/2. Дифференцируя тождество f(g(x)) = x по цепному правилу, получаем g′(x) = 1/f′(g(x)); так как g(5) = 3, ответ — величина, обратная f′(3) = 2.
Производная равна cos(x+3) − x·sin(x+3). Константа 7 при дифференцировании исчезает, а производная внутренней функции x+3 равна 1, поэтому лишнего множителя не появляется.
Производная равна 3x² − 6x + 2. Правило степени выносит показатель в коэффициент и уменьшает его на единицу: x³ → 3x², −3x² → −6x, 2x → 2. Разбор с объяснениями.
Производная равна 3x² + 4x − 5. Правило степени применяем почленно, постоянные множители сохраняются, а производная линейного слагаемого — просто его коэффициент.
Производная равна (x − 1)^x·[ln(x − 1) + x/(x − 1)] при x > 1. Ни правило степени, ни правило показательной функции не годятся, поэтому логарифмируем.
Ответ: (1 − x²)/(x²+1)². Числитель сворачивается из (x²+1) − 2x², поэтому производная меняет знак ровно в точках x = 1 и x = −1, где и находятся экстремумы.
Производная равна (2x tg x − x² sec²x)/tg²x. Применяем правило частного, помня, что производная тангенса равна sec²x, а затем переписываем ответ через синус и косинус.
Производная функции f(x) = x²/2 + cos 5x равна x − 5 sin 5x. Квадратичное слагаемое даёт x, а цепное правило для cos 5x выносит множитель 5 и меняет знак.
Ответ: 2x. Правило степени d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹ при n = 2 даёт 2x¹, и определение через предел это подтверждает — уцелевает именно слагаемое 2xh.
Упрощённое разностное отношение равно 4x + 2h − 3. При раскрытии 2(x + h)² появляются слагаемые 4xh и 2h², общий множитель h которых сокращает знаменатель.
Разностное отношение равно −11, никакого h не остаётся. Все h сокращаются, потому что у линейной функции постоянный угловой коэффициент — удобная проверка алгебры.
При x = 1 ряд гармонический, он расходится, и вопрос о дифференцируемости отпадает. При x = −1 он сходится к ln 2, а односторонняя производная равна ln 2 − 1/2 ≈ 0.1931472.
Исключение a и b из x²/a² − y²/b² = 1 даёт xy·y″ + x(y′)² − y·y′ = 0. Дифференцируем дважды, затем делим одно соотношение на другое и убираем обе постоянные.
dy/dx = 40x⁴ + 12/x⁵ − 4/x². Сначала каждое слагаемое записываем как степень x, тогда правило степени применяется единообразно, а два отрицательных показателя меняют знаки.
dy/dx = 48x⁵ + 12/x⁵ − 4/x². Переписав 4/x как 4x⁻¹, применяем правило степени к каждому слагаемому, а отрицательные показатели по пути меняют два знака.
Производная равна 2e^(2x)·artanh(√(eˣ−1)) + e^(3x)/(2√(eˣ−1)(2−eˣ)). Величина 1 − z² сворачивается в 2 − eˣ, что заодно задаёт область определения 0 < x < ln 2.
Ответ: (3 − e^(2x))/(eˣ + e⁻ˣ)³. Если записать знаменатель как отрицательную степень, правило частного заменяется более аккуратным сочетанием правила произведения и цепного правила.
dy/dx = 2x. Правило степени: производная xⁿ равна n·xⁿ⁻¹, поэтому при n = 2 прежний показатель становится коэффициентом, а новый показатель падает до 1.
Интеграл от v(t) = t² + t по t от 1 до 2 даёт перемещение 23/6 метра, около 3.83 м, причём скорость на этом отрезке знака не меняет.
Для f(x) = arctan x значение f'(0) = 1 строго больше любого углового коэффициента секущей. Значение 1 никогда не достигается как среднее производной.
Вычислен двойной интеграл 1/(x+y+2) по квадрату [0,1]×[0,1]: 10 ln 2 − 6 ln 3 = 0,3398. Интегрируем по x, затем по y, используя стандартные формулы для ln.
Ответ: примерно –33,08. Подынтегральное выражение не зависит от x, поэтому внутренний интеграл равен ширине y/1,1015, которая отрицательна при y ∈ [–1,65; 0].
Ответ: 72. Треугольник с вершинами (−2,−2), (4,−2) и (4,4); интегрирование по y от −2 до x и по x от −2 до 4 полностью покрывает область.
Значение интеграла равно −8. Внутренний интеграл по y даёт 3x²−8x−3, который по x от 1 до 2 интегрируется в −8.
Интеграл |xy − 1/4| по единичному квадрату равен 3/32 + ln2/8 ≈ 0.180393. Гипербола xy = 1/4 делит область, логарифм появляется из интеграла 1/(16x).
Двойной интеграл e^(-(x^2+y^2)) по области x^2+y^2≤1 равен π(1−1/e) ≈ 1.9858. Решение — через полярные координаты.
Ответ — (π/4)·erf(1)² ≈ 0,55775. Интеграл сводится к квадрату одномерного гауссова интеграла через функцию ошибок.
Ответ: 0. По стороне квадрата длиной 2π — одному полному периоду — оба интеграла ∫sin x dx и ∫cos y dy равны нулю, и каждый слагаемый даёт 2π на ноль.
Двойной интеграл sin(x²) + cos(y²) по квадрату 0 ≤ x, y ≤ 1 равен сумме двух интегралов Френеля и приближённо равен 1,2148.
Значение интеграла — 5/6. Подстановка u=1−x, v=1−y превращает максимум в max(√(1−u²), v), область разбивается четвертью окружности.
Значение интеграла x·cos(x+y) по треугольнику с вершинами (0,0), (π,0), (π,π) равно −3π⁄2. Решение — через интегрирование по частям.
Значение интеграла равно 5/144. Внутренний интеграл по x даёт множитель 5y/72, а ∫₀^∞ y·e^(−y²) dy = 1/2 завершает вычисление.
Ответ: −16. Из-за симметрии по x интеграл от x обнуляется, остаётся только −8y, который по y от 0 до 2 даёт −16.
Ответ: −9/2. Интегрируя сначала по x, получаем 3/2−12y, затем по y — −4,5. Перестановка порядка интегрирования по теореме Фубини даёт тот же результат.
Ответ: 5/3. Интеграл берётся поэтапно: сначала раскрывается скобки, затем интегрируется по y и x. Постоянный множитель 1/8 облегчает вычисления.
Интеграл равен 1 – √2⁄2 ≈ 0,292893. После замены порядка область разбивается на два среза по y. Проверка в полярных координатах даёт тот же ответ.
Значение интеграла — ln 2. Сначала интегрируем по y, затем по x, используя замену и интегрирование по частям.
Значение интеграла — (7/6)(√2 − 2) ≈ −0.6834. Область — сектор кольца, где 1 ≤ x² + y² ≤ 4, y ≥ x, x ≤ 0. Решение — через полярные координаты.
Вычислен двойной интеграл: (π/6)-((√3)/8)+(5/48) ≈ 0,411259. Используется разложение x(1+y) и стандартные первообразные.
Ответ: 4π/√3 – 3π/2 ≈ 2,54. Интеграл сводится к одному интегралу по θ, где r сокращается, и выражается через стандартный интеграл Вейерштрасса.
Двойной интеграл x²−8y по области D=[−2,−1]×[0,1] равен −5⁄3. Интеграл разбивается на x² и −8y: получаем 7⁄3−4=−5⁄3.
Двойной интеграл x² + y² по области между y = x² и y = 2 - x на 0 ≤ x ≤ 1 равен 149/105 ≈ 1,4190.
Значение интеграла x² + y² по 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 равно 2/3. Оба слагаемых дают по 1/3 благодаря симметрии.
Двойной интеграл xy·sin(xy²) по квадрату [0, π] равен π/2 − sin(π³)/(2π²) ≈ 1,59097. Решение — подстановка u = xy² в первом интеграле.
Ответ: 5π/4 + 1/8 − e^(10π)/8. Замена u = x²y сводит внутренний интеграл по x к (1 − e^(4y))/2, а внешний интеграл берётся элементарно.
Ответ — 4/5. Интегрирование по y даёт (1 − x⁴)/2, а по x — 4/5. Область ограничена параболой и прямой.
Ответ: 0. Интеграл раскладывается, множитель x/√(R²−x²) нечётен на [-R, R]; обе части сходятся к ±R, сумма — ровно ноль.
Двойной интеграл равен −5/3. Область D — прямоугольник −2 ≤ x ≤ −1, 0 ≤ y ≤ 1, поэтому пределы постоянны и двойной интеграл сразу сводится к повторному.
Двойной интеграл равен 16π/9 ≈ 5.585. Интегрируем сначала по y, получаем (8/3)x·sin³x, понижаем степень через sin 3x и берём интеграл по частям.
Двойной интеграл по треугольнику (0,0), (π,0), (π,π) равен −3π/2 ≈ −4.712. Пределы 0 ≤ y ≤ x сводят его к повторному, а дальше интегрируем по частям.
Ответ: 0. Находим пределы интегрирования для области между y = 4x² − 9 и y = 9 − 4x², а затем пользуемся симметрией: оба слагаемых нечётные.
Ответ: sin²x/128 + (1 − cos x)/72 при 0 ≤ x ≤ π/2. Модуль снимается после разложения на множители и анализа знака подынтегрального выражения.
Значение интеграла с подкоренным выражением 1 + tan²(0,661)·sin²b примерно равно 1,79. Используется эллиптический интеграл второго рода с мнимым модулем.
Интеграл равен примерно 1,928009. Это полный эллиптический интеграл второго рода E(m) с отрицательным параметром m = –tan²(0,8) ≈ –1,06016.
Обе ветви стремятся к нулю, так как степень знаменателя (6) больше степени числителя (3). Горизонтальная асимптота — y = 0.
Вычислен ряд с гамма-функцией: результат — 0,00118532 (шесть значимых цифр). Достаточно первых трёх слагаемых, остальные дают менее 1e-10.
Пределы равны 25, 300, 153, 729 и 41. Все функции непрерывны в точках, значит, предел совпадает со значением функции.
Общее решение: x + 2y − 3ln|x + y + 4| = C. Уравнение не является точным, но подстановка u = x + y позволяет разделить переменные.
Популяция кроликов через 5 лет составит 1458 особей, время удвоения — 5,78 года. Решение: P(t) = 800 e^(0.12 t), удвоение не зависит от начального числа.
Выражение раскладывается как (y' - 2x² - x)(y' - 2x² + x). Решения ОДУ: y = 2x³/3 ± x²/2 + C.
a = 17/175 и b = 1/25 обеспечивают непрерывность функции: при x = -2 и x = 1 значения соседних ветвей совпадают, система уравнений определяет оба параметра.
Ответ: a = 2, b = 3, c = 4. Для непрерывности в x = 1 числитель должен обращаться в ноль, предел справа равен 3, слева −x + c также должен давать 3.
Предел существует только при a = e − 1/e. Тогда односторонние пределы совпадают: справа — a + e, слева — 2a + 1/e.
k = 6, h = 2, s = 1. Интегрирующий множитель x приводит уравнение к виду (xy)′ = 18x² + 4x, откуда xy = 6x³ + 2x² + C и 6x² + 2x − y + C/x = 0.
Общее решение уравнения dy/dx + 2y = e^(−x): y = e^(−x) + Ce^(−2x). Используется метод интегрирующего множителя.
Ответ: xy = C₁ или x² + y² = C₂. Уравнение сводится к квадратному относительно y′, даёт два семейства — гипербол и окружностей.
Поток через внутреннюю сторону нижнего полушария равен 8π. Используется теорема Гаусса, вычитается поток через диск, затем меняется знак для внутренней ориентации.
Синус исчезает по нечётности, косинус — преобразование Фурье Гаусса, r² — гамма-интеграл. Итог: две явные формулы, коэффициент b не влияет.
Если b/a > 0, решение — колебания: C₁cos(√(b/a)x) + C₂sin(√(b/a)x); если b/a < 0 — экспоненты; если b = 0 — прямая C₁x + C₂.
Ответ зависит от знака k: при k>0 — синус и косинус, при k=0 — прямая C₁t+C₂, при k<0 — возрастающие и убывающие экспоненты.
Общее решение y'' − ay' + by = 0 зависит от дискриминанта: два разных показателя, кратный корень или затухающие колебания. Формулы для всех случаев.
Для f = x²y + x e^(–xy) направленная производная по (0, –1) равна –x²(1 – e^(–xy)), то есть минус частная производная по y.
Градиент функции 3x⁴yz³ равен ⟨12x³yz³, 3x⁴z³, 9x⁴yz²⟩ — это частные производные по x, y и z соответственно.
Ответ: утверждение верно. Если сумма по тройкам сходится и aₙ стремится к нулю, то исходный ряд Σaₙ также сходится.
Ответ: dy/dx = -(3x² + 2xy)/(x² + 3y²). Дифференцируем обе части, применяем правило произведения и цепное правило, выражаем dy/dx.
Ответ: dy/dx = (sec y + 2y sec^2 2x)/(4 - tan 2x - x sec y tan y). Используются правило произведения и цепное правило для tan 2x.
dy/dx = (−180x⁵ − 400x¹⁹y)/(20x²⁰ + 8y⁷). Слагаемое 20x²⁰y дифференцируем по правилу произведения, а каждый продифференцированный y даёт множитель dy/dx.
Ответ: π/8 (примерно 0,3926991). Вынесение 4 даёт четверть стандартного интеграла 1/(1+x²)², равного π/2 на всей числовой прямой.
Значение интеграла — 1/3. Подстановка x = cosh t превращает x+√(x²–1) в eᵗ. Нижний предел должен быть 1, иначе подкоренное выражение становится мнимым.
Ответ: −1. Первообразная x ln x − x находится по частям, а предел a ln a при a→0⁺ равен 0, что позволяет корректно вычислить несобственный интеграл.
Интеграл от минус бесконечности до 0 от 1/(3√(x−8)²) расходится к +∞. Корень заменяется модулем, интегрируется до логарифма, предел не существует.
Значение интеграла x·e^(−x²) от 0 до ∞ — ровно 1/2. Подстановка u = x² упрощает выражение, а предел при b → ∞ обнуляет e^(−b²).
Несобственный интеграл x^(-2/3) от -1 до 1 равен 6. Интеграл разбивается в точке разрыва x=0, каждая часть сходится к 3 благодаря первообразной 3x^(1/3).
Интеграл равен -1/b·ln|a-bx|+C. Подстановка u=a-bx даёт du=-b dx, поэтому коэффициент -1/b выносится перед логарифмом.
Ответ: 2ln|x| + 1/x + C. Для x⁻¹ применяется логарифм, для x⁻² — обычное правило степеней. Эти два слагаемых ведут себя принципиально по-разному.
Ответ: 3ln|x| + 2/x + C. Для x⁻¹ нужен логарифм, для x⁻² — обычное степенное правило, а двойной минус превращается в плюс.
Ответ: Ei(x) + C. Для ∫e^x/x dx не существует элементарной первообразной — требуется специальная функция экспоненциального интеграла.
Ответ: –½·e^(–x²) + C. Фактор x — это ровно половина производной показателя, поэтому подстановка u = –x² работает идеально.
Бесконечное произведение сходится при любом x>0, а предел отношения логарифма произведения к √x при x → +∞ равен π.
Ровно два: m = −1 и m = 0. Производная (4 − m²)/(x − m)² требует m² < 4, а вертикальная асимптота x = m не должна попасть в (0, ∞), откуда −2 < m ≤ 0.
Ответ: (b−a)u/(ab√(a−bu²)) + arcsin(u√(b/a))/(b√b) + C. u² выражается через (a−bu²), и интеграл разбивается на стандартные формы без тригонометрической подстановки.
Ответ: 2 arsinh(√x) + C или 2 ln(√x+√(x+1)) + C. Подстановка x = sinh²t упрощает оба корня одновременно.
Ответ: ln|x| + C. Без модуля формула не работает при x < 0, хотя 1/x там определена и интегрируема.
Интеграл dx/((x−1)√(−x²+2x+3)) равен −½ ln|(2+√(−x²+2x+3))/(x−1)| + C после взаимно обратной подстановки x−1=1/t.
Ответ: −1/x − (2/3)√x + C. Оба слагаемых переписываются как степени x, затем применяется формула для интеграла степенной функции.
Ответ: tg y + C. По тождеству 1 + tg²y = sec²y, а производная tg y — это sec²y, поэтому интеграл сразу находится.
Ответ: ln|(1+x)/(1−x)| + C. Дробь 2/(1−x²) раскладывается на 1/(1−x) + 1/(1+x), интегралы которых дают разность логарифмов.
Ответ: (2^x + 4)^6 / (6 ln 2) + C. Подстановка u = 2^x + 4 и учёт производной 2^x = 2^x ln 2 позволяют вычислить интеграл.
Интеграл 25x^(3/2) равен 10x^(5/2) + C. К показателю 3/2 прибавляем 1, делим на 5/2, то есть умножаем на 2/5.
Ответ: 2e^(2x) + (1/2)cos(2x) + C. При интегрировании делим на коэффициент при x, а минус перед sin 2x превращает косинус в плюс.
Значение интеграла ∫_0^(∞) ((arctan x)/(cosh x)) dx ≈ 1,09869. Элементарного выражения нет: используется разложение 1/cosh x в ряд и численное интегрирование.
Ответ: (1/2)sin(2x) + C. Множитель 1/2 появляется, чтобы компенсировать производную внутренней функции по правилу цепочки.
Ответ: −1/5 cos(5 sin x + 2) + C. Подстановка u = 5 sin x + 2 приводит к интегралу sin u, который легко вычисляется.
Как обычный несобственный интеграл он расходится, а как обобщённая функция равен 2πδ(x). Обрезание на ±A даёт 2sin(Ax)/x — вечные колебания со слабым пределом 2πδ(x).
Интеграл ∫e^(-x^2)dx равен (√π/2)·erf(x)+C. Элементарного выражения не существует, поэтому используется функция ошибок.
Ответ: γ(4.102378, x) + C, или −Γ(4.102378, x) + C. Нецелый показатель не даёт выразить интеграл через элементарные функции.
Ответ: 12·ζ(3)² − 2·π⁶⁄45 ≈ −25.3891. Ядро разбивается на два интеграла, которые выражаются через сумму Эйлера H(m)/m⁵ и значения дзета-функции.
Первообразная ln(x)·arctan(x) выражается через дилогарифм: −¼·Li₂(−x²) плюс элементарные слагаемые. Без Li₂ не обойтись.
Элементарного первообразного нет. Приведение к стандартному виду даёт −2√(10π)·C(√(8/(5π))·t)+C₁, где C(x) — косинусный интеграл Френеля.
Элементарной первообразной нет. Замена u = ln x и разложение 1/(1 + e^(−u)) дают (ln x)^(1−a)/(1 − a) плюс ряд из гамма-функций Γ(1 − a, n ln x).
Первообразная sin²x·cos³x равна sin³x/3 − sin⁵x/5 + C. Используется разложение cos³x и подстановка u = sin x.
Ответ: (1/4)·ctg(4 cos x) + C. Замена u = 4 cos x превращает подынтегральное выражение в −(1/4)·csc²(u), первообразная которого равна (1/4)·ctg(u).
Интеграл по единичному кругу от радиальной производной функции f при Δf = x² + y² равен π/10. Ответ не зависит от выбора f.
Ответ: −cos(7x⁴ + 3)/28 + C. Внешний множитель x³ почти совпадает с производной 7x⁴ + 3, поэтому подстановка эффективнее интегрирования по частям.
Ответ: -1/(2(x²-2x+3)) + C. Числитель — половина производной знаменателя, поэтому подстановка u даёт ответ сразу.
Ответ: −5 ln|x−2| + 6 ln|x−3| + C. Знаменатель раскладывается на (x−2)(x−3), далее — разложение на простейшие дроби и интегрирование логарифмов.
Ответ: -½x·e^(-x²) + (√π/4)·erf(x) + C. Интегрирование по частям с функцией ошибок для гауссиана.
Ответ: eˣ(x² − 2x + 2) + C. Подробно: почему выбирают u = x², зачем дважды по частям, и как проверить результат дифференцированием.
Интеграл x² sin x dx равен -x² cos x + 2x sin x + 2 cos x + C. Для многочлена второй степени требуется дважды применить метод интегрирования по частям.
Ответ: −3π/2. Интеграл разбивается на два по частям: x sin2x даёт −π/2, x sinx даёт π, разность −π/2 − π = −3π/2.
Ответ: (1/5)(x²+1)^(5/2) − (2/3)(x²+1)^(3/2) + (x²+1)^(1/2) + C. Запись x⁴ через (u−1)² превращает подынтегральную функцию в три простые степени u.
Ответ: x⁴/4 – 3x²/2 + 5 ln|x| + C. Сначала делим числитель на x, затем интегрируем по частям: степенная формула и логарифм.
Ответ: −ln|y| + C. Числа 2 и −2 сокращаются до −1, остаётся стандартный интеграл от обратной функции с модулем под логарифмом.
Интеграл 5y^(2/5) dy равен (25/7)y^(7/5) + C. Прибавляем 1 к показателю, делим на новый показатель, умножаем на 5.
Интеграл e^(6x) по x равен e^(6x)/6 + C. При дифференцировании появляется множитель 6, поэтому при интегрировании делим на 6.
Первообразная выражения x³ + 6 равна x⁴/4 + 6x + C. Степенной метод увеличивает показатель до 4 и делит на 4, а 6 интегрируется в 6x.
Первообразная выражения x+3 по x равна x²/2 + 3x + C. Интеграл разбивается на слагаемые, применяется правило степени и добавляется константа.
Ответ: x³/3 − (26/3)x^(3/2) + C. Для применения формулы степенного интегрирования показатель x^(2/4) удобно записать как x^(1/2).
Интервал сходимости — замкнутый [-1, 1]. Коэффициенты ведут себя как 2/(n(n+2)), то есть убывают как 1/n², поэтому оба конца входят в интервал.
Ответ: 0,4δ(t−1) + 0,2δ(t−2) + 0,4δ(t−3). Чистый e^(−as) без F(s) даёт сдвинутую дельта-функцию Дирака; знак экспоненты определяет сдвиг.
Ответ: нет. Li₂ определена и непрерывна в точке 1, значение — π²/6, но производная -ln(1-x)/x стремится к +∞ при x → 1⁻.
Да, функция Li₂(x) дифференцируема при x = −1, а её производная равна ln 2. Это следует из почленного дифференцирования и теоремы Абеля.
Результат вычисления — π/4 + 1/6. После раскрытия скобок члены с x² сокращаются, остаётся интеграл по четверти круга и два элементарных многочлена.
Вложенный интеграл равен 2/3 + π/4 ≈ 1,4520648. Внутренний интеграл по y даёт 1 − x² + √(1 − x²); последний слагаемый — это площадь четверти круга π/4.
Ответ выражается через первообразную секанса в кубе. После внутреннего интегрирования по r задача сводится к интегралу от sec³θ с логарифмом.
Ответ: y(t) = 2e^t − t² − 2 + 4u(t−2)sinh(t−2). Импульс переходит в e^(−2s), разложение на простейшие дроби, обратное преобразование по частям.
Ответ: y(t) = -1/2 - 1/2e^(-t/2)cos(√7t/2) + ... Подробное решение интегро-дифференциального уравнения с помощью преобразования Лапласа.
Ответ: 1/(s-2)^2 при s > 2. Используется теорема первого сдвига для Лаплас-преобразования t·e^(2t).
Левая сумма Римана равна 55, правая — 74,5 для f(x)=2x²−x−1 на [2;5]. Истинная площадь 64,5 лежит между ними, так как функция возрастает.
Предел равен 2. Делим числитель и знаменатель под корнем на x², дробь стремится к 36/9 = 4, а квадратный корень из 4 равен 2.
Предел равен −∞. Дифференцирование ряда даёт (eˣ−1)/x, интеграл ведёт себя как −ln|x| и неограниченно убывает при x → −∞.
Предел равен 4. Подстановка u = x–1 приводит к u(u+2)tan(2u)/sin²u, где tan 2u ≈ 2u и sin²u ≈ u² сокращают u.
Ответ — e². Форма неопределённости 1 в степени бесконечность; логарифмируем, применяем правило Лопиталя, получаем 2, значит предел равен e².
Предел (1 − cos 2x)/(2x) при x, стремящемся к бесконечности, равен 0. Числитель ограничен, а знаменатель неограниченно возрастает, поэтому по теореме о зажатой функции предел равен нулю.
Предел равен 0, так как числитель стремится к нулю быстрее знаменателя. Подробное объяснение через разложение в ряд и правило Лопиталя.
Предел выражения (1 - x)/(√(5 - x²) - 2) при x, стремящемся к 1, равен 2. Используется умножение на сопряжённое и сокращение.
Предел равен 0. Квадрат стирает знак, поэтому x² → +∞ с обеих сторон, а постоянный числитель, делённый на неограниченно растущий знаменатель, стремится к нулю.
Ответ: 256. После сокращения x-2 основание стремится к 4, а показатель — к 4. Предел равен 4^4=256.
Предел выражения равен −1/7. Доминирует (−7)^n, а отношение (2/−7)^n стремится к нулю при n → ∞, несмотря на смену знака.
Предел равен −1. Делим числитель и знаменатель на быстрее растущее 3ˣ, получаем ((2/3)ˣ − 1)/((2/3)ˣ + 1), а (2/3)ˣ → 0, так как основание меньше 1.
Предел равен -1, поэтому правильный выбор — «нет верного ответа». Главные коэффициенты: -1 в числителе и +1 в знаменателе, остальные члены стремятся к нулю.
Предел равен 0. Разделив числитель и знаменатель на x² — старшую степень знаменателя, получаем (2/x − 3/x²)/(1 + 3/x), числитель которой стремится к нулю.
Ответ: предел не существует. Слева получается –5, справа — 5, скачок высотой 10 в точке x = 1.
Предел выражения (3x³–2x–1)/(5x²+3x–8) при x→1 равен 7/13. Оба многочлена делятся на x–1; сокращение устраняет неопределённость.
Предел равен 42. Для многочлена предел вычисляется прямой подстановкой: 3·8 + 5·4 + 8 − 10 = 42.
Предел равен 1. Числитель раскладывается как (2 – x)(2 + x), знаменатель — как x²(2 + x). Сокращаем (2 + x), подставляем x = –2 в (2 – x)/x².
Ответ: 14/15. Знаменатель при x=2 равен 30, не нулю, поэтому можно подставлять напрямую: получаем 28/30, сокращаем до 14/15.
Предел выражения (5x³−2x+1)/(3x³+7) при x→∞ равен 5/3. Деление на x³ обнуляет малые члены, остаётся отношение старших коэффициентов.
Предел выражения 9 − x² при x, стремящемся к +∞, равен −∞. Квадрат x растёт быстрее константы, поэтому разность уходит в минус бесконечность.
Предел выражения (1/i)e^(ix) при x→∞ не существует, так как оно равно sin x - i cos x и бесконечно вращается по окружности модуля 1.
Предел функции f(x) равен 1/4, а предел f(f(x)) равен 7/4 при x → ∞. Используется разложение дроби и непрерывность композиции.
Ответ — 1 (вариант D). Основание стремится к 1, показатель — к бесконечности, но их произведение стремится к 0, и весь предел равен e^0 = 1.
Предел равен 2 ln 2 (примерно 1,386). Один множитель растёт как x ln 2, другой убывает как 2/x — их произведение стремится к постоянной.
Предел равен 1. В знаменателе |x-1| при x = -2 получаем 3, а не 0, поэтому функция непрерывна и прямой подстановкой получаем 3/3 = 1.
Предел отношения интегралов aₙ₊₁/aₙ равен 4/5, так как среднее стремится к максимуму функции 1/(1+x²) на отрезке.
Ответ — 5. В пределе важны только старшие степени: логарифмы ведут себя как 100 ln(x) и 20 ln(x), коэффициенты 100 и 2 исчезают.
Ответ: минус бесконечность. Рациональная часть стремится к 3, а корень растёт как n, поэтому разность уходит в минус бесконечность.
Предел выражения равен 1/18. Оба выражения обращаются в ноль при x = –5, поэтому проводится умножение на сопряжённое и сокращение общего множителя (x+5).
Предел равен 1. Разложение числителя по cosx и представление sin²x как (1–cosx)(1+cosx) позволяет сократить обнуляющийся множитель.
Ответ: 1. Вынесем cos x: cos x (1 − cos²x) = cos x · sin²x, поэтому дробь равна cos x · (sin x/x)², а оба стандартных предела при x → 0 равны 1.
Предел (eˣ−1)/x при x→0 равен 1. Это производная eˣ в нуле, видно из ряда Тейлора, а также по правилу Лопиталя.
Предел равен −2. Вычитание 2x убирает линейный член ln(1 + 2x), поэтому остаётся квадратичный −(2x)²/2, и после деления на x² получается ровно −2.
Предел ln(n)/n² при n→∞ равен 0. Логарифм растёт медленнее любой положительной степени, и по правилу Лопиталя дробь стремится к нулю.
Предел ln x / √x при x → ∞ равен 0. Используется правило Лопиталя: после дифференцирования получаем 2/√x, что стремится к нулю.
Предел выражения ln(e^x + x)/(x² + 1) при x→+∞ равен 0. В числителе — рост как x, в знаменателе — как x², поэтому дробь стремится к нулю.
Предел равен +∞. Отрицательный коэффициент при x, уходящем в −∞, даёт положительное произведение, а постоянная −4 неограниченному росту не мешает.
Предел limₙ→∞ (−1)ⁿ/n равен 0. Числитель ограничен, знаменатель стремится к бесконечности, поэтому дробь стремится к нулю.
Подстановка u = 2/n сводит выражение к 4·(1 − cos u)/u², а этот предел равен 1/2, значит, исходный предел равен 2.
Правосторонний предел равен 1. После логарифмирования форма ∞⁰ превращается в x² ln(1/x), что стремится к 0. Слева выражение не определено.
Предел суммы Римана равен 98/3 ≈ 32,667. Показано, как определить a, b и f(x) по сумме: 2/n — ширина, 3+2i/n — правая точка на [3;5].
Предел выражения (√(3+x)−√3)/x при x→0 равен √3/6. Используем рационализацию числителя и подстановку x=0.
Ответ: 3√2/2 ≈ 2,12132. Замена t = √x превращает дробь в разностное отношение, а избавление от иррациональности даёт то же самое значение.
Предел √(x^3+4x^2)/x при x→0 не существует, так как справа он равен 2, а слева −2. Причина — √(x^2)=|x|, а не x.
Предел не существует: при x = 5 числитель равен −2, а знаменатель — 0, поэтому выражение стремится к +∞ слева и −∞ справа.
Предел равен 1/6. Домножение на сопряжённое превращает числитель в x−4, который сокращается с знаменателем, остаётся 1/(√(x+5)+3).
Предел равен 5. Подкоренное выражение положительно и непрерывно при x = 3, поэтому можно сразу подставить и получить √25 = 5.
Предел равен −4. Линейные слагаемые 3x сокращаются, остаются кубические −9x³/2 и +x³/2, поэтому частное стремится к −4. Неопределённость 0/0: раскладываем до x³.
Ответ — 5/8. Подстановка x = π/2 + t и разложение косинусов по формуле Тейлора второго порядка приводит к (9/2 − 2)/4.
Ответ: 2/3. Деление числителя и знаменателя на x приводит к стандартным пределам вида sin(kx)/x, получаем (3+1)/(1+5)=4/6.
Ответ: -3/2. Подстановка x = π/4 + t приводит числитель к -sin 4t - sin 2t, знаменатель — к 4t, предел отношения равен (-4 - 2)/4.
Предел sin(9x)/cot(12x) при x→0 равен 0. Представим cot(12x) как cos/sin, преобразуем выражение и подставим x=0.
Ответ: предел не существует. При x→∞ значения sin x навсегда остаются между -1 и 1, не стремясь к одному числу.
Ответ: 1, если x в радианах. Доказательство через теорему о сжатой функции: cos x ≤ sin(x)/x ≤ 1. В градусах предел равен π/180.
Предел равен e^(1/3) ≈ 1,3956. Используются логарифмы и разложение по степеням x² для числителя и знаменателя.
Ответ: √2/2 ≈ 0,70711. Представим гиперболические функции через экспоненты, выделим e^x, и останется постоянный множитель 1/√2.
Предел выражения √(36x² + 7x + 49) − 6x при x → ∞ равен 7/12. Получено умножением на сопряжённое и выделением старших членов.
Предел tan(2x)/sin(3x) при x→0 равен 2/3 — используется представление через синус и косинус и стандартные пределы для sin(kx)/x.
Предел (tan x − sin x) / x² при x→0 равен 0, так как числитель ведёт себя как x³/2. Замена обеих функций на x приводит к неверному ответу.
Предел выражения (tan x / x)^(1/x) при x → 0 равен 1. Это неопределённость 1^∞; логарифмирование сводит её к x^2/3x, что стремится к 0, значит исходный предел равен e^0 = 1.
Ответ: 3. Для любой константы предел при x, стремящемся к бесконечности, равен самой константе — функция не меняется при любом x.
Предел выражения 1/x − ⌊1/x⌋ при x → 0⁺ не существует: значения плотно заполняют [0,1).
Ответ: 2. Умножаем сумму на 1/2 и вычитаем — коэффициенты телескопируются, ряд превращается в обычную геометрическую прогрессию, откуда S/2 = 1 и S = 2.
Основание стремится к 1 снизу, поэтому степень даёт e^(−2δ/π), а не 1. Это число меньше 1, скобка отрицательна, и действительный логарифм от неё не определён.
Предел x³e^(–2x) при x→∞ равен 0. Трижды применяем правило Лопиталя: степень в числителе убывает, экспонента остаётся.
Предел равен 6. Представление x − 9 как (√x − 3)(√x + 3) позволяет сократить на знаменатель, остаётся √x + 3, что при x = 9 даёт 6.
Предел выражения ((x+3)/(x−1))^(x+3) при x→∞ равен e⁴. Преобразование основания к виду 1+4/(x−1) приводит к стандартному пределу с e.
Предел равен −8. Подстановка даёт 0/0, числитель раскладывается на множители, сокращается (x+4), и при x→−4 выражение x−4 даёт −8.
Предел выражения равен −√3 (примерно −1,732). Оба выражения обращаются в 0 при x=2, потому выделяется общий множитель и рационализируется знаменатель.
Предел выражения x²−4 при x, стремящемся к +∞, не существует как конечное число: функция стремится к +∞, так как x² доминирует.
Предел равен 4/3. Подстановка даёт 0/0, разложим на множители, сократим (x − 3), затем подставим x = 3.
Предел (x² + 5x + 4)/(x² + 3x – 4) при x → –4 равен 3/5. Получена неопределённость 0/0, после сокращения общего множителя (x + 4) подставляем значение.
Предел выражения x^(x+1)/(1+x)^x - 1/e при x→+∞ равен плюс бесконечности. Основной член растёт как x/e, а вычитание константы не влияет на расходимость.
Ответ: предел не существует. Разложение даёт (x−3)(x+2)/|x+2|, левый предел равен 5, правый −5, односторонние значения не совпадают.
Ответ: −25. В числителе остаётся 5x, в знаменателе — −x/5. Предел равен −25.
Предел выражения равен 5/16. Решается разложением числителя на две разности или однократным применением правила Лопиталя.
Значение интеграла — 16/3 + 2 sin 2. Выделяется полный дифференциал, который считается по концам, остальное — через параметризацию x=2cos t, y=2sin t.
Ответ: ln(x/y) ≈ (x−y)/y — относительное изменение. Следующий член ряда: (x−y)/y − ((x−y)/y)²/2, что даёт точность лучше 1%.
Линейная аппроксимация даёт ∛(62.5) ≈ 3,96875, точное значение — 3,968503; ошибка составляет 0,00025.
Значение интеграла — (π/sin(π/10))(ψ(0.1) + γ) ≈ −100,103. Важно сохранять Γ(a+b) в знаменателе при дифференцировании B(a, b) по a.
Ответ: (sin x)^(cos x) · (cos² x / sin x − sin x ln sin x). Применяется логарифмирование, так как ни правило степени, ни правило экспоненты не подходят.
Ряд Маклорена для 1/(1+x)² до x⁷: 1−2x+3x²−4x³+5x⁴−6x⁵+7x⁶−8x⁷+O(x⁸). Получен дифференцированием геометрического ряда.
Ряд: x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040. Только нечётные степени, знаменатели — нечётные факториалы. При x=1 ошибка ≈ 2,8×10⁻⁶.
Ряд Маклорена для tan(x)/(1+x²) до x⁷: x − (2/3)x³ + (4/5)x⁵ − (47/63)x⁷. Получено умножением ряда тангенса на геометрический ряд.
В ряде Маклорена tanh(10⁻¹³x)/x до x¹⁰ остаются только чётные степени: 10⁻¹³ − 10⁻³⁹x²/3 + 2·10⁻⁶⁵x⁴/15 − 17·10⁻⁹¹x⁶/315 + 62·10⁻¹¹⁷x⁸/2835 − 1382·10⁻¹⁴³x¹⁰/155925.
Ответ: −k. Сначала раскрываем A × B = 3yz i − 4xz j − xy k, берём производную по x: −4z j − y k, затем по y — остаётся постоянный вектор −k.
Если функция монотонна, неотрицательна и неограничена на [a, +∞), её несобственный интеграл от a до бесконечности обязательно расходится.
Через 20 минут кофе остынет до 48,9 °C, а до 30 °C дойдёт примерно за 44 минуты. Параметр k = (1/10)ln(14/9) ≈ 0,04418 найден по показанию 65 °C через 10 минут.
Предел справа равен 0, слева — плюс бесконечность, поэтому двухстороннего предела нет. Подстановка t = 1/x превращает выражение в 4t²/2^t.
Ответ: 36π² < a < 64π². Для каждого k с 4π²k² < a появляется пара корней, нужно ровно четыре таких k, не включая границы.
Ответ: ∂d/∂t = −100·Vy·Vm20·b / (Vm + Vm20(t − 20)b)². Постоянный −100 исчезает, применяется цепное правило к знаменателю.
Ответ: ∂V/∂Pa = 1000M(Pg − Pv) / [Pg(1 + (t − 20)b)(Pv − Pa)²]. Подробное объяснение применения правила дифференцирования дроби.
Ответ: 2x/(x² + y²). y считается константой, производная внутренней функции — 2x, логарифм даёт обратную дробь.
Ответ: 2xy + y cos x. При вычислении частной производной по x переменная y считается константой, поэтому дифференцируются только x² и sin x.
Ответ: ∂z/∂x = -2/√(x² - y²), ∂z/∂y = 2x/(y√(x² - y²)). Подробный разбор вычисления частных производных логарифма дроби с корнем.
Ответ: частная производная по a равна x, по b — 1. При каждом дифференцировании остальные переменные считаются постоянными.
Частное решение: y = 4 + 2e^(x³). Разделяем переменные, интегрируем до ln|y − 4| = x³ + C, потенцируем, а условие f(0) = 6 даёт константу 2.
Частное решение: f(x) = x² + x + 4. Дважды проинтегрируем f'' = 2, затем подставим f'(2) = 5 и f(2) = 10, чтобы найти константы.
Ответ: S = π/2 + 3√3/4 ≈ 2,8698. Область ограничена окружностями r = 2 sin θ и r = 4 sin θ, а также прямыми θ = π/3 и θ = π/2.
Ответ: 49πa⁴/32. Интегрируем r³, получаем a⁴(1 − cos)⁴/4, раскрываем четвёртую степень, отбрасываем нечётные степени косинуса и берём интегралы Валлиса.
Вычислен интеграл: 4√2/3 – π/4 – 2/3 ≈ 0,43355. Использованы формулы понижения степени для sin⁴θ и интегрирование по θ от π/4 до π/2.
Ответ равен 1/2. Внутреннее интегрирование 1/r даёт логарифм нижнего предела, а оставшийся интеграл по θ сводится к известному интегралу от sin u · ln(sin u).
Если f(x) > 0 и оба интеграла равны нулю, то найдётся x₁ ∈ (0; π/2) такой, что f(x₁) = 1. Иначе ln f(x) сохраняет знак, и интеграл не может быть нулём.
Сумма x^(n-1)/n от n=1 до ∞ равна -ln(1-x)/x при 0<|x|<1, а при x=0 — 1. Выделение x приводит к стандартному ряду для -ln(1-x).
Сумма xⁿ/n² от n=1 до ∞ равна дилогарифму Li₂(x), сходится при |x| ≤ 1. При x=1 даёт π²/6, при x=–1 —π²/12. Элементарного выражения нет.
Если пределы f справа в a и при x→∞ равны A, то по теореме Ферма внутри (a, ∞) найдётся ξ с f'(ξ) = 0.
Верно: если пиков бесконечно много — есть невозрастающая подпоследовательность, если конечное число — строится строго возрастающая.
Если функция дифференцируема на всей ℝ, то она непрерывна на всей ℝ. Разность f(x)−f(a) представляется как производная на (x−a), предел равен 0.
Формула Лейбница для n-й производной доказана по индукции с помощью правила Паскаля: F^((n))=∑_(j=0)^(n)C(n,j)f^((n-j))g^((j)).
Подстановка C(x,t) = e^(-kt)u(x,t) устраняет слагаемое распада, сводя уравнение к классическому уравнению теплопроводности u_t = D u_xx.
Интеграл sin^(2n)x выражается через рекуррентную формулу и сумму косинусов. Для n=1,2,3 получены явные ответы.
Ответ: (e⁸ − 1) ⁄ 6. Интеграл e^(y^3) по y не берётся в элементарных функциях, поэтому меняем порядок интегрирования и используем замену u = y³.
Ответы: -1/(2x^(3/2)), 1/2+2/x^2, (3/2)√x-2x, 18x. Перед дифференцированием каждую функцию приводят к сумме степеней.
Для a > 0 выражение равно arsinh(x/√a) + ½ ln a. Масштаб — √a, добавка — половина логарифма.
Для a>0 выражение ln(x+√(a²+x²)) равно arsinh(x/a)+ln a. Деление на a приводит к стандартному виду, а остаток даёт ln a.
Предел равен 0. Доказательство: приближение интегрируемой по Риману функции ступенчатой, оценка интеграла и контроль ошибки через ε.
У функции локальный максимум при x = 1, так как f'(1) = 0 и f''(1) = -6 < 0 — график в этой точке вогнут вниз.
Решение уравнения X'' = -0,1X — это X(t) = C_1 cos(t/√10) + C_2 sin(t/√10). Корни характеристического уравнения — чисто мнимые, значит, все решения осциллируют бесконечно.
Ответ: (y')² = 2e^y + C₁, а явно y = ln(C₁/2) − 2 ln|sinh(√C₁(x−x₀)/2)|. Используется переход к функции y' от y.
Решение: x = t⁴/24 + t³/3 + 8, y = t⁴/24 − t³/3. Система раскладывается на два независимых уравнения простым сложением и вычитанием.
Ответ: x = ((a/3)y + C)³ и особое решение x = 0. Деление на x^(2/3) приводит к интегралу с показателем -2/3, чей первообразный — 3x^(1/3).
Ответ: y = 3/4 + Ce^(-4x). При x → ∞ все решения стремятся к 3/4 — это устойчивое равновесие. Подробное пошаговое решение с проверкой.
Общее решение уравнения dy/dx = e^y — y = −ln(C − x), определено только при x < C. Решение стремится к бесконечности при x → C.
Общее решение уравнения dy/dx = ky — это y = Ce^(kx). Подставляя C = 0, получаем и тривиальное решение y ≡ 0.
Ответ: 1/(2y+3) = 1/(8x+10) + C и особое решение y = -3/2. Переменные разделяются, интегрируются обе стороны как u^-2.
Ответ: y = 1/(C - x) и y = 0. Интегрируя y⁻², получаем -1/y = x + C. Любое ненулевое решение обращается в бесконечность при x = C за конечное время.
Ответ: y = Ce^x. После разделения переменных получаем ln|y| = x + C, а постоянная C может быть любым действительным числом, включая ноль.
Ответ: (y−1)³ = 3x + C, или y = 1 + ∛(3x + C). Переменные разделяются умножением на (y−1)², кубический корень берётся без ±.
Для b > 0 общее решение — y = √b · tanh(√b x/a + C). Интеграл dy/(b - y²) раскладывается на логарифм отношения через разложение на простейшие дроби.
Ответ: 2x + 2x³/3 + 2x⁵/5 + … для |x| < 1. При вычитании ряда ln(1−x) из ln(1+x) исчезают чётные степени и удваиваются нечётные.
Ряд сходится: по признаку Даламбера L = 1/3 < 1, а по формуле суммы арифметико-геометрической прогрессии сумма равна 3/4. Подробное объяснение.
Ответ: интеграл расходится. В знаменателе есть простой нуль при x ≈ 1,96 внутри [-π/4; 3π/4], так что подынтегральная функция ведёт себя как 1/(x–c) и не интегрируема.
Дважды продифференцировав x = sin(kt) + cos(kt), получаем x'' = -k²x. Следовательно, x'' + k²x = 0 — верно для любых t и k.
Кривая падает до минимума −8/e² ≈ −1,0827 при x = −2, затем поднимается к 0. Точки перегиба x = −2 ± √2, весь график лежит не выше оси абсцисс.
Ответ: наклонная асимптота при x → +∞ равна y = 3x − 1, кривая лежит выше неё. Выделяем полный квадрат (3x − 1)² + 2 и умножаем на сопряжённое.
Решение: y = ch x + C. Выделяем радикал и возводим в квадрат: члены с p² сокращаются, остаётся p = (e^x − e^−x)/2 = sh x, который интегрируется напрямую.
Общее решение: y = C·e^(2x) + x/2 + 1/4. Множитель e^(−2x) делает левую часть производной произведения, а справа требуется интегрирование по частям.
Ответ: y = 12 + Ce^(−x/2). Запись y′ + y/2 = 6 выдаёт линейное ОДУ первого порядка, а равновесное решение y = 12 притягивает все остальные.
Общее решение: y = (1/5)e^(3x) + Ce^(−2x). Интегрирующий множитель тот же, e^(2x), но правая часть интегрируется в e^(5x)/5, а не в e^x.
Общее решение: y = b/a + C·e^(−ax) при a ≠ 0. Постоянная b/a — это равновесие, к которому стремится решение, а при a = 0 получается y = bx + C.
Ответ: f(x) = C |sin((k−1)x)|^(1/(k−1)). Переворачиваем отношение, получаем f′/f = ctg((k−1)x), интегрируем логарифмическую производную и потенцируем.
Общее решение при t > 1: x(t) = (t − 1)(ln(t − 1) + C). Делим на t − 1, берём интегрирующий множитель 1/(t − 1) и интегрируем обычное 1/(t − 1).
Решение в неявном виде: x e^y + 3x² = C. Проверка на точность dM/dy = dN/dx = e^y проходит, значит потенциал существует, и его строим интегрированием M по x.
Решение: x = e^t(C₁cos2t + C₂sin2t), y = e^t(C₁sin2t − C₂cos2t). Собственные значения матрицы равны 1 ± 2i, поэтому траектории раскручиваются спиралями.
Общее решение: y = C₁eˣ + C₂e^(2x) − xeˣ. Так как eˣ уже является решением однородного уравнения, пробную функцию приходится домножить на x.
y = (C1 + C2·x)e^(−x) + e^(3x)/16. Характеристическое уравнение (r + 1)² = 0 даёт кратный корень r = −1, а подстановка Ae^(3x) приводит к 16A = 1.
Ответ: y = e^(−x)(C₁ + C₂x + x²/2). Характеристический корень −1 двукратный, поэтому пробное решение умножается на x², а не на одну степень x.
Общее решение: y = C₁cos(2x) + C₂sin(2x). Характеристическое уравнение r² + 4 = 0 даёт r = ±2i, поэтому круговая частота равна 2.
Общее решение: y = C1 cos x + C2 sin x. Характеристическое уравнение r² + 1 = 0 имеет корни ±i, что даёт колебания с угловой частотой 1.
Ответ: y = C₁cos(x) + C₂sin(x) + 12. Корни характеристического уравнения равны ±i, а постоянная пробная функция сразу даёт частное решение.
Сумма ряда равна 1/2. Разложение 4n² − 1 = (2n−1)(2n+1) и переход к простейшим дробям заставляют все внутренние слагаемые попарно сократиться.
Разложение на простейшие дроби даёт (1/2)(1/n − 1/(n+2)) — телескопическую сумму со сдвигом на два, поэтому остаются первые два слагаемых, а итог равен 3/4.
Сумма равна e² ≈ 7.389. Это экспоненциальный ряд Σxⁿ/n! при x = 2; если начинать с n = 1, пропадает слагаемое при n = 0 и получается e² − 1.
Сумма равна 4. Вынося множитель 2, получаем сумму k(1/2)^k, которую формула x/(1−x)² при x = 1/2 даёт равной 2, так что итог — 2 умножить на 2.
Ответ: −ζ′(2) ≈ 0.9375482543. Почленное дифференцирование ζ(s) = Σ n⁻ˢ даёт −ln n · n⁻ˢ, поэтому при s = 2 ряд опознаётся точно.
Сумма в точности равна 1. Запись n как (n+1) − 1 разбивает член на 1/n! − 1/(n+1)!, и частичные суммы сворачиваются до 1/1! минус исчезающий хвост.
Сумма равна ln 2 ≈ 0.6931472. Записываем 1/(n·2ⁿ) как (1/2)ⁿ/n, узнаём ряд Меркатора −ln(1 − x) = Σ xⁿ/n при |x| < 1, подставляем x = 1/2 и упрощаем.
Площадь равна 15√21, примерно 68.74. Для плоскости подынтегральное выражение постоянно, поэтому ответ — √(1 + fx² + fy²), умноженный на площадь основания.
Угловой коэффициент равен 72, а точка касания — (2, 26), а вовсе не (2, −2), поэтому касательная задаётся уравнением y = 72x − 118. С проверкой опечатки.
Разложение: (a e⁻²/4b²)(1 − x³/12b³ + x⁴/8b⁴ + …). Члены с x и x² сокращаются, а замена t = x/b избавляет всё разложение от параметра.
Ряд Маклорена: Σ (ln 2)ⁿ xⁿ / n! = 1 + 0,6931x + 0,2402x² + … при любом действительном x. Записываем 2^x как e^(x ln 2) и берём готовый ряд экспоненты.
Многочлен Тейлора пятой степени: 5x + (7/6)x³ + (43/24)x⁵. Он получается перемножением рядов для sin x и sec²x с последующим прибавлением ряда sin 2x.
Ряд равен сумме xⁿ/n! при n ≥ 0, то есть 1 + x + x²/2! + x³/3! + …, ведь любая производная e^x снова равна e^x и в нуле даёт 1. Ряд сходится при всех x.
ln(√(x²+1)+x) = x − x³/6 + 3x⁵/40 − 5x⁷/112 + ... на [−1,1]. Это ареасинус x, поэтому дифференцируем до 1/√(1+x²) и раскладываем биномиальным рядом.
Ответ: 1 + x − x²/2 + x³/2 − 5x⁴/8 + …, справедливо при |x| ≤ 1/2. Применяем биномиальный ряд с α = 1/2 и t = 2x, не теряя степени двойки.
Ответ: 1 + x²/2 − x⁴/8 + x⁶/16 − 5x⁸/128 + … на [−1, 1]. Подстановка t = x² в биномиальный ряд с показателем 1/2 оставляет только чётные степени x.
Сумма ряда 1/(√(n+1)(n+2) + (n+1)√(n+2)) равна 1/√2. Разложение знаменателя превращает общий член в 1/√(n+1) минус 1/√(n+2).
Ответы: 5, 8 и 1/4. Первый берётся непрерывностью, второй — сокращением (x−3), третий — умножением на сопряжённое выражение для раскрытия неопределённости 0/0.
Значение равно π/12. Берём цилиндрические координаты вокруг оси x: поверхности пересекаются при r = 1, тело идёт от x = r² до x = r, а dV = r dx dr dθ.
Ответ: ровно −466/5. После интегрирования по z до −2x+4y−4 и по y до 2x−2 внешняя подынтегральная функция — многочлен 4-й степени, интеграл которого от 2 до 3 равен −466/5.
Интеграл равен 3πa⁴/2. Подынтегральная функция не зависит от x, поэтому интегрирование по x даёт лишь множитель 2π, а по z и по y получаем a⁴ и 3/4.
Значение равно 15/2. Пределы постоянны, а подынтегральная функция — произведение, поэтому интегрируем сначала по x, затем по y и по z, вынося константы.
Значение равно 19/2. Подынтегральная функция — произведение функций от x, y и z, а область прямоугольная, поэтому интеграл распадается на три однократных.
Точное значение равно −648/5. Интегрирование по z даёт −2y(9 − x² − y²), интеграл по y сворачивается в −(9 − x²)²/2, а цилиндрические координаты это подтверждают.
Ответ: ровно 25/2. Так как 5 − 5x отрицательно при x > 1, пределы по y идут в обратную сторону; учёт этой ориентации в повторном интеграле даёт +25/2.
Ответ: ровно −188. Интегрирование по z даёт −5y(9−x²−y²); интеграл по y сворачивается в −(5/4)(9−x²)², а интеграл по x от −1 до 1 даёт −188.
Ответ: 2π(1 − √3/2)(1 − cos 1)/3 ≈ 0,128989. В сферических координатах конус задаётся постоянным углом φ = π/6, а подынтегральная функция зависит только от ρ.
Интеграл от x по телу внутри z = x² + y² до уровня z = 3 равен 0. Область симметрична относительно плоскости x = 0, а функция нечётна по x, поэтому всё сокращается.
Ответ: 1/4. По симметрии каждая из переменных x, y и z даёт по тетраэдру интеграл 1/24, поэтому взвешенная сумма равна (1 + 2 + 3)/24, то есть 6/24.
Интеграл равен 336π. В цилиндрических координатах подынтегральная функция — просто r², радиус круга равен √(2z), и всё сводится к 2π∫z² dz.
Интеграл равен 340π. Переходим к цилиндрическим координатам, берём r ≤ √(2z) при 2 ≤ z ≤ 8 и отделяем угловой множитель cos²θ sin²θ, дающий π/4.
Ответ: 4π/5 ≈ 2,5133. В сферических координатах подынтегральная функция превращается в ρ⁴sin φ, и интеграл распадается в произведение 2π × 2 × 1/5.
Значение равно 0. В цилиндрических координатах угловой множитель — интеграл cos θ sin θ по полному обороту, он нулевой, поэтому радиальную часть считать не нужно.
Значение равно 1/8. У куба постоянные пределы, а подынтегральная функция — произведение одномерных множителей, поэтому интеграл равен (1/2)³ — по одной половине с каждого направления.
Ответ равен 1 − exp(−k), умноженному на первые шесть членов ряда для exp(k). Формула объёма симплекса сводит тройной интеграл к одному гамма-интегралу.
Значение равно 0. Интегрирование по z, а затем по y сводит задачу к интегралу (x − x⁷)/6 по [−1, 1] — нечётная функция на симметричном отрезке даёт точный ноль.
Значение равно 64π/3. При z от y² до 4 внутренний интеграл даёт (16 − y⁴)/2, подынтегральная функция по y равна 8y − y⁵/2, а направление x добавляет множитель 2π.
Значение равно 32π⁵/5. Внутренний предел по z зависит от x, а не от y, поэтому после интегрирования по z и y остаётся x⁴, а предел 2π и даёт π⁵.
Значение равно 32π/3. Внутренний интеграл сворачивается в y⁵/2, поскольку и подынтегральная функция, и верхний предел по z зависят от y, а по x получается лишь множитель 2π.
Интеграл равен π(4 − √2)/30, около 0.270783. В цилиндрических координатах конус даёт нижний предел по z, сфера — верхний, а пересекаются они при r = 1/√2.
Значение равно 3/2. Область — тетраэдр с отсечёнными отрезками x = 1, y = 3, z = 3, поэтому интегрирование сначала по y, затем по x и по z даёт тот же объём.
Вычисляем тройной интеграл от 2x − 4yz по области, заданной вложенными неравенствами. Ответ: −268 — полное решение в порядке dz dy dx с подстановкой пределов.
Объём примерно равен 0,7342. Симметричные пределы по z дают удвоенный корень, интегрирование по y добавляет длину отрезка, а последний интеграл по x берётся численно.
Значение равно 612. Все пределы идут от большего к меньшему, поэтому три смены знака дают один общий минус, а интегрирование начинается с внутреннего.
Горизонтальных асимптот две: y = a и y = −a, если a конечно и отлично от нуля. При a = 0 они совпадают, и остаётся единственная прямая y = 0.
Удобная оценка: 1 + (π²/6 − 1)/ln 2 = 1.93044, она следует из ln n ≥ ln 2 при n ≥ 2. Истинная сумма около 1.4976, так что оценка верна, но не точна.
Ответ: a = 2. Непрерывность в точке стыка требует, чтобы левый предел выражения x² + 2x − 3, равный 5, совпал со значением 2a + 1 правой ветви, откуда 2a + 1 = 5.
Числитель производной равен m − 4, откуда m > 4; кроме того, полюс x = −m не должен попадать в (−∞, −7), что даёт m ≤ 7. Ответ — полуинтервал (4, 7].
Первая производная даёт v = 15t² + 3, вторая — a = 30t, поэтому при t = 5 секунд скорость равна 378 м/с, а ускорение 150 м/с². Кинематические формулы не нужны.
v(3) = 44/3 м/с. Определённый интеграл от ускорения по отрезку [1; 3] даёт приращение скорости, поэтому начальное условие при t = 1 прибавляем в самом конце.
Объём равен 16√2·π/3 ≈ 23.695. В сферических координатах условие x² + y² ≥ z² превращается в π/4 ≤ φ ≤ 3π/4, а ρ и θ пробегают полный диапазон.
Выразим обе кривые через y: внешний радиус √y, внутренний y². Тогда V = π·∫(y − y⁴)dy от 0 до 1 = 3π/10 ≈ 0.942, что подтверждает и метод слоёв.
Вращение области под кривой y = x² + 5 от x = 0 до x = 5 вокруг оси x даёт V = 3500π/3 ≈ 3665,19. Полная постановка методом дисков и вычисление по шагам.
Объём равен (e⁶ − 1)/2 = 201.21. Разбираем, почему сторона каждого квадрата равна eˣ, и объём сводится к интегралу от e^(2x) на промежутке от 0 до 3.
Объём равен πa³/3. В сферических координатах поверхность превращается в ρ³ = a³·cos φ, кубический корень гасится множителем ρ², и остаётся простой интеграл по φ.
Рекуррентная формула I(n) = ((n−1)/n)·I(n−2) с I(0) = π/2 и I(1) = 1 даёт результат Валлиса: при чётном n множитель π/2 сохраняется, при нечётном исчезает.
Ряду Тейлора нужны f(0) и все производные в нуле, а 1/x там не определена. Правильное разложение в окрестности нуля — ряд Лорана x⁻¹ с отрицательной степенью.
Почти: правильный ответ x²/2 + C. Правило степени даёт x²/2, но производная любой функции x²/2 + C равна x, поэтому первообразная — целое семейство, а не одна функция.
Интеграл от x⁷ dx равен x⁸/8 + C, а не x⁸/3 + 7. Правило степени делит на новый показатель 8, а производная от x⁸/3 даёт 8x⁷/3 вместо x⁷.