Calculus
Real calculus questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.
F(x) = (1/2)·ln(2x + 1), а F((e² − 1)/2) = 1. Делаем замену u = 2x + 1, из условия F(0) = 0 получаем C = 0, и выражение 2x + 1 сворачивается в e².
Площадь фигуры между x² + y² = 7y и x² + y² = 9y, отсечённой прямыми y = x/√3 и x = 0, равна 8π/3 + 2√3 ≈ 11.84. Составляем и вычисляем интеграл площади.
В точке x = 1 разрыв устранимый — дырка в (1, −2), а x = 2 даёт разрыв второго рода с вертикальной асимптотой. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Интеграл в точности равен π. Слагаемое x³·cos(x/2) нечётно и даёт 0, а остаток равен половине площади круга радиуса 2, то есть 2π, умноженной на 1/2.
Производная равна 3x² − 6x + 2, а интеграл от 0 до 3 равен 9/4. Сначала правило степени, затем формула Ньютона—Лейбница для площади со знаком.
Производная равна (x − 1)^x·[ln(x − 1) + x/(x − 1)] при x > 1. Ни правило степени, ни правило показательной функции не годятся, поэтому логарифмируем.
Исключение a и b из x²/a² − y²/b² = 1 даёт xy·y″ + x(y′)² − y·y′ = 0. Дифференцируем дважды, затем делим одно соотношение на другое и убираем обе постоянные.
Двойной интеграл равен −5/3. Область D — прямоугольник −2 ≤ x ≤ −1, 0 ≤ y ≤ 1, поэтому пределы постоянны и двойной интеграл сразу сводится к повторному.
Двойной интеграл равен 16π/9 ≈ 5.585. Интегрируем сначала по y, получаем (8/3)x·sin³x, понижаем степень через sin 3x и берём интеграл по частям.
Двойной интеграл по треугольнику (0,0), (π,0), (π,π) равен −3π/2 ≈ −4.712. Пределы 0 ≤ y ≤ x сводят его к повторному, а дальше интегрируем по частям.