Вычислить определённый интеграл x² · e^(−x) от x = 0 до x = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем части так, чтобы степень многочлена уменьшалась. Подынтегральная функция — это многочлен, умноженный на экспоненту, что классически решается по частям. Положим $u = x^2$ (при дифференцировании степень убывает), $dv = e^{-x}dx$ (интегрируется без роста степени), тогда $du = 2x\,dx$, $v = -e^{-x}$.

2. 2

   Применяем интегрирование по частям один раз.

   $\int x^2 e^{-x}dx = -x^2 e^{-x} + \int 2x e^{-x}dx$

   Оставшийся интеграл содержит $x$ первой степени вместо второй — на шаг ближе к элементарному выражению.

3. 3

   Выполняем второй шаг по частям. Теперь $u = 2x$, $dv = e^{-x}dx$:

   $\int 2x e^{-x}dx = -2x e^{-x} + \int 2e^{-x}dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x}$

   Объединяя, получаем первообразную:

   $\int x^2 e^{-x}dx = -\left(x^2 + 2x + 2\right)e^{-x} + C$

4. 4

   Подставляем пределы интегрирования. При $x = 1$ получаем $-(1 + 2 + 2)e^{-1} = -5e^{-1}$. При $x = 0$ — $-(0 + 0 + 2)e^{0} = -2$. Вычитая,

   $\int_0^1 x^2 e^{-x}dx = -\frac{5}{e} - (-2) = 2 - \frac{5}{e}$

5. 5

   Проверяем разумность ответа. При $e \approx 2{,}718282$, $\tfrac{5}{e} \approx 1{,}839397$, значит, интеграл $\approx 0{,}160603$. Составная формула Симпсона по $[0,1]$ даёт $0{,}1606028$, что совпадает до семи знаков. Значение существенно меньше грубой оценки $\int_0^1 x^2 dx = \tfrac13$, что логично, ведь $e^{-x} < 1$ на всём интервале.