Решить дифференциальное уравнение d/dx(dy/dx) = e^y, то есть y два штриха = e^y.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что уравнение автономно. Независимая переменная $x$ явно не входит — присутствуют только $y$ и его производные. Для таких уравнений стандартный приём — считать независимой переменной $y$, а не $x$, что понижает порядок с двух до одного.

2. 2

   Введём замену $v=y'$ и применим правило цепочки по $y$. Пусть $v$ — функция от $y$:

   $y''=\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=v\frac{dv}{dy}.$

   Уравнение принимает вид первого порядка и разделяемо:

   $v\frac{dv}{dy}=e^{y}.$

   Именно равенство $v\,\frac{dv}{dy}$ позволяет провести понижение порядка; без него замена $v=y'$ оставляет уравнение в трёх переменных.

3. 3

   Разделим переменные и проинтегрируем — получим первый интеграл. Из $v\,dv=e^{y}\,dy$:

   $\frac{v^{2}}{2}=e^{y}+C\;\Longrightarrow\;\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=2e^{y}+C_{1}.$

   Это выражение — сохраняющаяся величина (аналог закона сохранения энергии для частицы в потенциале $-e^{y}$). Извлекая корень, получаем:

   $\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt{2e^{y}+C_{1}}.$

4. 4

   Снова разделим переменные. Оставшееся уравнение разделяемо относительно $y$ и $x$:

   $\int\frac{dy}{\sqrt{2e^{y}+C_{1}}}=\pm x+C_{2}.$

   Для $C_{1}=k>0$ подстановка $u=e^{y}$ приводит левую часть к $\int\frac{du}{u\sqrt{2u+k}}$, что является стандартным интегралом:

   $\frac{1}{\sqrt{k}}\ln\left|\frac{\sqrt{2e^{y}+k}-\sqrt{k}}{\sqrt{2e^{y}+k}+\sqrt{k}}\right|=\pm x+C_{2}.$

5. 5

   Преобразуем к явному виду. Решая полученное логарифмическое равенство относительно $y$, приводим выражение к гиперболическому синусу:

   $y=\ln\!\frac{C_{1}}{2}-2\ln\left|\sinh\!\left(\frac{\sqrt{C_{1}}\,(x-x_{0})}{2}\right)\right|,\qquad C_{1}>0,$

   где $x_{0}$ включает $C_{2}$. Вырожденный случай $C_{1}=0$ проще и приводится отдельно:

   $y=-2\ln\left|c-\frac{x}{\sqrt2}\right|.$

6. 6

   Проверим оба вида решения численно. Для $C_{1}=1{,}5$, $x_{0}=0{,}3$: разностная оценка $y''$ при $x=1{,}4$ даёт $1{,}42405$, а $e^{y}=1{,}42404$ — совпадает; при $x=2{,}2$ — $0{,}35950$ и $0{,}35950$ соответственно. Для ветви $C_{1}=0$ с $c=3$: при $x=1$ $y''=0{,}190212$, $e^{y}=0{,}190210$ — также совпадает. Оба решения обращаются в бесконечность при обращении аргумента логарифма в ноль — это не фикция, а реальное поведение: решение достигает бесконечности за конечное $x$.