Найдите критические точки функции y = (1/3)x³ + x² – 8x + 1, укажите сначала меньшую.

Step-by-step solution

1. 1

   Перед дифференцированием уточним, что такое критическая точка. Критические точки — это такие значения $x$, при которых $y'=0$ или производная не существует. Здесь $y$ — многочлен, его производная определена при всех $x$, поэтому остаётся только решать $y'=0$. Число $\tfrac13$ перед $x^{3}$ выбрано так, чтобы после дифференцирования старший коэффициент стал равен $1$.

2. 2

   Дифференцируем каждый член по правилу степени. Каждый слагаемый — это степень $x$, умноженная на константу:

   $y'=\frac{1}{3}\cdot 3x^{2}+2x-8+0=x^{2}+2x-8$

   Постоянный член $+1$ даёт нулевой вклад, как и любой другой константы.

3. 3

   Приравниваем производную к нулю. Критические точки находятся из уравнения

   $x^{2}+2x-8=0$

4. 4

   Вместо формулы воспользуемся разложением на множители. Требуется найти такие два числа, произведение которых равно $-8$, а сумма $+2$; это $+4$ и $-2$:

   $x^{2}+2x-8=(x+4)(x-2)=0$

5. 5

   Решаем каждое уравнение и упорядочиваем ответы. Приравниваем каждый множитель к нулю:

   $x+4=0\ \Rightarrow\ x=-4,\qquad x-2=0\ \Rightarrow\ x=2$

   Значит, критические точки — $x=-4$ и $x=2$, меньшая из них $x=-4$.

6. 6

   Проверим и производную, и корни. Подставим обратно: $(-4)^{2}+2(-4)-8=16-8-8=0$ и $2^{2}+2(2)-8=4+4-8=0$, оба значения действительно обращают производную в ноль. Также, если вычислить производную центральной разностью для исходной функции $y$ при $x=0.5$ и $x=-1.2$, получаются значения $-6.75$ и $-8.96$, что совпадает с $x^{2}+2x-8$ в этих точках, значит, сама производная найдена верно.