Вычислить тройной интеграл по всей R³ от exp(−alpha·(x² + y² + z²)), умноженного на сумму: a·cos(xξ + yη + zζ) + b·sin(xξ + yη + zζ) + c·(x² + y² + z²).

Step-by-step solution

1. 1

   Переход к векторным обозначениям и разбиение на три интеграла. Обозначим $\mathbf{x} = (x, y, z)$, $\mathbf{k} = (\xi, \eta, \zeta)$, $r = \|\mathbf{x}\|$, $k = \|\mathbf{k}\|$. Тогда $x\xi + y\eta + z\zeta = \mathbf{x}\cdot\mathbf{k}$, и

   $I = aI_1 + bI_2 + cI_3$

   где $I_1 = \iiint e^{-\alpha r^2}\cos(\mathbf{x}\cdot\mathbf{k})\,d^3x$, $I_2$ — то же с синусом, $I_3 = \iiint e^{-\alpha r^2} r^2\,d^3x$. Условие $\alpha > 0$ обеспечивает сходимость всех трёх интегралов.

2. 2

   Уничтожение синус-терма по нечётности. При замене $\mathbf{x} \mapsto -\mathbf{x}$ гауссиан $e^{-\alpha r^2}$ не меняется, а $\sin(\mathbf{x}\cdot\mathbf{k})$ меняет знак, так что подынтегральная функция нечётна относительно симметричной области:

   $I_2 = 0$

   Следовательно, коэффициент $b$ в ответ не входит.

3. 3

   Вычисление косинус-терма как преобразования Фурье. Стандартное преобразование Фурье для трёхмерного гауссиана:

   $\iiint_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2} e^{i\mathbf{x}\cdot\mathbf{k}}\,d^3x = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} e^{-k^2/(4\alpha)}$

   (каждое направление даёт $\sqrt{\pi/\alpha}\,e^{-k_i^2/4\alpha}$ после выделения полного квадрата). Берём действительную часть — мнимая как раз равна $I_2 = 0$ — получаем

   $I_1 = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} e^{-k^2/(4\alpha)}$

4. 4

   Вычисление слагаемого с r² в сферических координатах. Подынтегральная функция зависит только от $r$, поэтому $d^3x = 4\pi r^2\,dr$:

   $I_3 = 4\pi\int_0^{\infty} r^4 e^{-\alpha r^2}\,dr$

   Подстановка $u = \alpha r^2$ сводит интеграл к гамма-функции:

   $\int_0^\infty r^4 e^{-\alpha r^2}dr = \frac{\Gamma(5/2)}{2\alpha^{5/2}} = \frac{3\sqrt{\pi}}{8\alpha^{5/2}}$

   где $\Gamma(5/2) = \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi}$. Следовательно, $I_3 = \dfrac{3\pi^{3/2}}{2\alpha^{5/2}}$.

5. 5

   Собираем итоговую формулу.

   $I = a\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} e^{-(\xi^2+\eta^2+\zeta^2)/(4\alpha)} + \frac{3c\,\pi^{3/2}}{2\alpha^{5/2}}$

   Структура ответа: часть с $a$ убывает по $k$ (это гауссиан в частотной области), а часть с $c$ — чистая константа, не зависящая от $\mathbf{k}$.

6. 6

   Числовая проверка. При $\alpha = 0.7$, $\mathbf{k} = (0.3, -0.5, 1.1)$, $a = 1.3$, $b = 2.1$, $c = 0.9$ подстановка в явную формулу даёт $25.4420947$. Численный расчёт на 90-узловой сетке Гаусса-Лежандра по $[-6,6]^3$ (вне этого диапазона гауссиан практически обнуляется) также даёт $25.4420947$ — совпадение до восьмого знака, включая тот факт, что слагаемое с $b = 2.1$ не даёт вклада.