Найти предел выражения √(36x² + 7x + 49) − 6x при x, стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим неопределённость. При $x\to\infty$ подкоренное выражение ведёт себя как $\sqrt{36x^2}=6x$, поэтому данное выражение представляет собой разность двух стремящихся к бесконечности величин:

   $\sqrt{36x^2+7x+49}\to\infty,\qquad 6x\to\infty\;\Longrightarrow\;\infty-\infty$

   Такая форма сама по себе значения не имеет; нельзя заключить, что предел равен нулю только потому, что оба слагаемых растут как $6x$, — важна именно разность поправочных членов.

2. 2

   Умножим на сопряжённое. Стандартный приём для выражения вида корень минус линейный член — домножить и разделить на сумму тех же двух слагаемых:

   $\sqrt{A}-6x=\frac{\left(\sqrt A-6x\right)\left(\sqrt A+6x\right)}{\sqrt A+6x}=\frac{A-36x^2}{\sqrt A+6x},\qquad A=36x^2+7x+49$

   В числителе радикал полностью исчезает:

   $A-36x^2=7x+49$

3. 3

   Разделим числитель и знаменатель на $x$. Для $x>0$ можно записать $\sqrt{36x^2+7x+49}=x\sqrt{36+\tfrac{7}{x}+\tfrac{49}{x^2}}$, поэтому

   $\frac{7x+49}{\sqrt{36x^2+7x+49}+6x}=\frac{7+\frac{49}{x}}{\sqrt{36+\frac{7}{x}+\frac{49}{x^2}}+6}$

   Вынесение $x$ из-под корня как $+x$ (а не $-x$) корректно только при $x\to+\infty$; если бы $x\to-\infty$, знак бы изменился и ответ был бы другим.

4. 4

   Переходим к пределу каждой части. Все слагаемые с $\tfrac{1}{x}$ стремятся к нулю:

   $\lim_{x\to\infty}\frac{7+\frac{49}{x}}{\sqrt{36+\frac{7}{x}+\frac{49}{x^2}}+6}=\frac{7}{\sqrt{36}+6}=\frac{7}{12}$

5. 5

   Проверим результат численно и по общей формуле. Подставляя большие значения: при $x=10^4$ выражение равно $0.583739$, при $x=10^6$ — $0.583337$, что сходится к $\tfrac{7}{12}=0.58\overline{3}$ $\checkmark$. Есть и общий приём: для $\sqrt{a^2x^2+bx+c}-ax$ при $a>0$ предел всегда $\tfrac{b}{2a}$, а здесь $\tfrac{7}{2\cdot 6}=\tfrac{7}{12}$.