Найдите ряд Тейлора в точке x = 0 для функции a/(4b(x + b)) умножить на exp(−4b/(x + 2b)), до члена с x⁴.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала выносим параметр заменой. Положим $t=x/b$; тогда $x+b=b(1+t)$ и $x+2b=b(2+t)$, а $b$ внутри экспоненты сокращается полностью:

   $f=\frac{a}{4b^2}\cdot\underbrace{\frac{1}{1+t}\exp\!\left(-\frac{4}{2+t}\right)}_{g(t)}$

   Теперь раскладывать надо один-единственный ряд $g(t)$, свободный от параметров, — именно это удерживает выкладки в разумных пределах.

2. 2

   Раскладываем показатель в геометрическую прогрессию. Запишем $-\frac{4}{2+t}=-\frac{2}{1+t/2}$ и воспользуемся разложением $\frac{1}{1+u}=1-u+u^2-\cdots$ при $u=t/2$:

   $-\frac{4}{2+t}=-2+t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{4}-\frac{t^4}{8}+\cdots$

   Главный член $-2$ выносится постоянным множителем $e^{-2}$ — вот почему $e^{-2}$ входит в каждый коэффициент окончательного ответа.

3. 3

   Экспоненцируем остаток. Обозначив $h(t)=t-\tfrac{t^2}{2}+\tfrac{t^3}{4}-\tfrac{t^4}{8}$, применим $e^{h}=1+h+\tfrac{h^2}{2}+\tfrac{h^3}{6}+\tfrac{h^4}{24}$ и соберём степени:

   $\exp\!\left(-\frac{4}{2+t}\right)=e^{-2}\left(1+t+0\cdot t^2-\frac{t^3}{12}+\frac{t^4}{24}+\cdots\right)$

   Коэффициент при $t^2$ обращается в нуль в точности: $-\tfrac12+\tfrac12=0$.

4. 4

   Умножаем на геометрический множитель $1/(1+t)$. Так как $\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+t^4-\cdots$, произведение Коши даёт коэффициенты $1$, $1-1=0$, $1-1+0=0$, $-1+1+0-\tfrac1{12}=-\tfrac1{12}$ и $1-1+0+\tfrac1{12}+\tfrac1{24}=\tfrac18$:

   $g(t)=e^{-2}\left(1-\frac{t^3}{12}+\frac{t^4}{8}+\cdots\right)$

   Члены и с $t$, и с $t^2$ исчезают — функция необычно полога в начале координат.

5. 5

   Возвращаемся к переменной x подстановкой $t=x/b$.

   $f(x)=\frac{a\,e^{-2}}{4b^2}\left[1-\frac{x^3}{12b^3}+\frac{x^4}{8b^4}+\cdots\right]=\frac{a e^{-2}}{4b^2}-\frac{a e^{-2}}{48b^5}x^3+\frac{a e^{-2}}{32b^6}x^4+O(x^5)$

6. 6

   Проверяем коэффициенты численно. Подгонка многочлена восьмой степени к $g(t)$ методом наименьших квадратов на $t\in[-0.3,0.3]$ после деления на $e^{-2}$ даёт коэффициенты $1.0000$, $3\times10^{-7}$, $-1\times10^{-6}$, $-0.08338$, $0.12509$ — они отвечают значениям $1,0,0,-\tfrac1{12}=-0.08333,\tfrac18=0.125$ ✓. Кроме того, $g(0)=e^{-2}=0.135335$ ✓.