Решите дифференциальное уравнение 2xy(y′)² + 2(x² + y²)y′ + 2xy = 0, сначала выразив y′, а затем проинтегрировав каждое из получившихся уравнений первого порядка.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим уравнение как алгебраическое относительно $y'$, а не дифференциальное. Разделим обе части на $2$ и обозначим $p=y'$:

   $xy\,p^{2}+(x^{2}+y^{2})\,p+xy=0.$

   Здесь нет производных от $p$, поэтому это обычное квадратное уравнение, коэффициенты которого зависят от $x$ и $y$. Решение такого уравнения позволяет разбить исходное уравнение на два простых разделяющихся случая.

2. 2

   Вычислим дискриминант и заметим, что он является полным квадратом.

   $(x^{2}+y^{2})^{2}-4(xy)(xy)=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}.$

   Благодаря этому задача решается в явном виде: корень квадратный извлекается рационально, $\sqrt{(x^{2}-y^{2})^{2}}=|x^{2}-y^{2}|$, и знак учитывается в $\pm$ по формуле для корней квадратного уравнения.

3. 3

   Выпишем оба решения (ветви) квадратного уравнения.

   $p=\frac{-(x^{2}+y^{2})\pm(x^{2}-y^{2})}{2xy}.$

   Для знака $+$ получаем $p=\dfrac{-2y^{2}}{2xy}=-\dfrac{y}{x}$; для знака $-$ — $p=\dfrac{-2x^{2}}{2xy}=-\dfrac{x}{y}$. Оба случая приводят к разделяющимся уравнениям.

4. 4

   Интегрируем первую ветвь $y'=-y/x$. Разделяя переменные,

   $\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\;\Longrightarrow\;\ln|y|=-\ln|x|+c\;\Longrightarrow\;\ln|xy|=c,$

   то есть $xy=C_{1}$ — семейство прямоугольных гипербол.

5. 5

   Интегрируем вторую ветвь $y'=-x/y$. Разделяя переменные,

   $y\,dy=-x\,dx\;\Longrightarrow\;\frac{y^{2}}{2}=-\frac{x^{2}}{2}+c\;\Longrightarrow\;x^{2}+y^{2}=C_{2}:$

   получаем семейство окружностей с центром в начале координат.

6. 6

   Проверим оба семейства в исходном уравнении. Для $xy=C_1$ имеем $y'=-y/x$; подставляя, $xy\frac{y^{2}}{x^{2}}-(x^{2}+y^{2})\frac{y}{x}+xy=\frac{y^{3}}{x}-xy-\frac{y^{3}}{x}+xy=0$. Для $x^{2}+y^{2}=C_2$ имеем $y'=-x/y$; подставляя, $xy\frac{x^{2}}{y^{2}}-(x^{2}+y^{2})\frac{x}{y}+xy=\frac{x^{3}}{y}-\frac{x^{3}}{y}-xy+xy=0$. Оба выражения обращаются в ноль. Геометрически эти два семейства не ортогональны: произведение наклонов $-y/x$ и $-x/y$ равно $+1$, а не $-1$. Они являются корнями одного квадратного уравнения и совпадают ровно там, где $|x|=|y|$, то есть там, где дискриминант обращается в ноль и обе ветви сливаются.