Чашка только что налитого кофе имеет температуру 90 °C и стоит в комнате при 20 °C. Через 10 минут кофе остыл до 65 °C. Найдите температуру через 20 минут и время остывания до 30 °C.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем дифференциальное уравнение. Закон охлаждения Ньютона утверждает, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой тела и окружающей среды, а не самой температуре:

   $\frac{dT}{dt}=-k\,(T-T_a),\qquad T_a=20^\circ\text{C}$

   Разделяя переменные и интегрируя, получаем стандартное решение:

   $T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}=20+70e^{-kt}$

   так как $T_0-T_a=90-20=70$.

2. 2

   Используем показание через 10 минут для нахождения $k$. Это единственный неизвестный параметр модели, и одно измерение позволяет его определить:

   $65=20+70e^{-10k}\;\Longrightarrow\;e^{-10k}=\frac{45}{70}=\frac{9}{14}$

   $k=-\frac{1}{10}\ln\frac{9}{14}=\frac{1}{10}\ln\frac{14}{9}\approx0.04418\ \text{мин}^{-1}$

3. 3

   Находим температуру через 20 минут, не округляя $k$ в десятичной форме. Поскольку $20=2\times10$, показатель экспоненты просто возводится в квадрат:

   $e^{-20k}=\left(e^{-10k}\right)^{2}=\left(\frac{9}{14}\right)^{2}=\frac{81}{196}$

   $T(20)=20+70\cdot\frac{81}{196}=20+\frac{405}{14}=20+28.93=48.93^\circ\text{C}$

   Использование точной дроби позволяет избежать накопления ошибок округления, которые появляются при вычислении $70e^{-0.0442\times20}$.

4. 4

   Решим уравнение для времени остывания до $30^\circ\text{C}$. Подставим $T(t)=30$:

   $30=20+70e^{-kt}\;\Longrightarrow\;e^{-kt}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\;\Longrightarrow\;kt=\ln 7$

   $t=\frac{\ln 7}{k}=\frac{10\ln 7}{\ln(14/9)}=\frac{19.459}{0.44183}\approx44.0\ \text{минуты}$

5. 5

   Проверим оба ответа на разумность. Кофе теряет $25^\circ$ за первые 10 минут, но лишь около $16^\circ$ за вторые 10 минут ($65\to48.9$) — убывающие потери соответствуют экспоненциальному приближению к температуре комнаты. А $30^\circ\text{C}$ — это всего на $10^\circ$ выше комнатной, поэтому потребуется довольно много времени, чтобы достичь этой отметки; $44$ минуты выглядят правдоподобно. Кофе никогда не достигнет ровно $20^\circ\text{C}$ за конечное время, так как $e^{-kt}>0$ при любом $t$.