Найти и упростить производную: y = arcsin(x⁴), или y = sin⁻¹(x⁴).

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим функцию как сложную и выберем нужные правила. Внешняя функция — арксинус, внутренняя — $u=x^{4}$, поэтому потребуется формула производной арксинуса в сочетании с цепным правилом. Следует помнить, что $\sin^{-1}$ здесь обозначает именно арксинус, а не $1/\sin$ — это частая причина путаницы в обозначениях.

2. 2

   Запишем формулу производной арксинуса для сложной функции. Если $y=\sin^{-1}(u)$, где $u$ — функция от $x$, то

   $\frac{dy}{dx}=\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$

   В нашем случае $u=x^{4}$.

3. 3

   Вычислим производную внутренней функции. По правилу степени:

   $u'=\frac{d}{dx}\left(x^{4}\right)=4x^{3}$

4. 4

   Подставим найденные значения и упростим подкоренное выражение. Подставляя $u=x^{4}$ и $u'=4x^{3}$ в формулу, получаем:

   $\frac{dy}{dx}=\frac{4x^{3}}{\sqrt{1-\left(x^{4}\right)^{2}}}=\frac{4x^{3}}{\sqrt{1-x^{8}}}$

   Ключевое упрощение: $\left(x^{4}\right)^{2}=x^{4\cdot 2}=x^{8}$, а не $x^{16}$ и не $x^{6}$.

5. 5

   Уточним область определения и проверим численно. Для выражения требуется $1-x^{8}>0$, то есть $-1<x<1$, что совпадает с областью определения $\sin^{-1}(x^{4})$, за исключением концов, где производная стремится к бесконечности. Центральная разность для $\sin^{-1}(x^{4})$ при $h=10^{-6}$ даёт $0.10800354$ при $x=0.3$, $1.41334288$ при $x=0.7$ и $-0.50097943$ при $x=-0.5$, что совпадает с $4x^{3}/\sqrt{1-x^{8}}$ до восьмого знака во всех трёх точках.