Упростить (cos x − cos³x)/x² и вычислить предел этого выражения при x → 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Определяем вид неопределённости. При $x=0$ числитель равен $1-1=0$, знаменатель тоже равен $0$, значит дробь имеет вид $\tfrac00$ — это неопределённость, и до вычисления предела выражение придётся преобразовать.

2. 2

   Раскладываем числитель на множители. У обоих слагаемых есть общий множитель $\cos x$:

   $\cos x-\cos^{3}x=\cos x\left(1-\cos^{2}x\right).$

   Именно вынесение общего множителя обнажает основное тригонометрическое тождество, спрятанное в скобке.

3. 3

   Применяем основное тригонометрическое тождество. Из $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ следует $1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$, поэтому

   $\cos x-\cos^{3}x=\cos x\,\sin^{2}x,$

   и всё выражение принимает вид $\dfrac{\cos x\sin^{2}x}{x^{2}}$. Теперь у $x^{2}$ в знаменателе появился очевидный партнёр — $\sin^{2}x$.

4. 4

   Разбиваем на стандартные множители. Объединяем $\sin^{2}x$ с $x^{2}$:

   $\frac{\cos x-\cos^{3}x}{x^{2}}=\cos x\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}.$

   Это и есть упрощённая форма, верная при всех $x\ne 0$; она целиком собрана из величин, пределы которых в нуле известны.

5. 5

   Переходим к пределу. Пользуемся тем, что $\lim_{x\to0}\cos x=1$, первым замечательным пределом $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, а также теоремами о пределе произведения и степени:

   $\lim_{x\to0}\frac{\cos x-\cos^{3}x}{x^{2}}=1\cdot 1^{2}=1.$

   Численная проверка: при $x=0.1$ дробь равна $0.99169$, при $x=0.01$ — $0.999917$, при $x=0.001$ — $0.99999917$ ✓ — значения стремятся к $1$ снизу, как и предсказывает неравенство $\cos x<1$.