Найдите частную производную x²y + y sin x по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, что означает «частная производная по $x$». Все вхождения $y$ считаются постоянными, как будто это число. Таким образом, $y$ выступает как числовой коэффициент в каждом слагаемом, и правило произведения здесь не требуется — часто встречающаяся избыточная сложность.

2. 2

   Вычислим производную первого слагаемого. При постоянном $y$ выражение $x^2y$ — это $y$, умноженное на $x^2$:

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2y\right)=y\cdot 2x=2xy$

3. 3

   Вычислим производную второго слагаемого. Снова $y$ — постоянный множитель, а $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$:

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(y\sin x\right)=y\cos x$

4. 4

   Сложим полученные результаты:

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2y+y\sin x\right)=2xy+y\cos x=y\left(2x+\cos x\right)$

   Вынесение $y$ за скобки наглядно показывает структуру: вся функция — это $y$, умноженное на функцию только от $x$.

5. 5

   Проверим с помощью разностного отношения. Подставим $x=1$, $y=3$. Формула даёт $3(2+\cos 1)=3(2+0.540302)=7.620907$. Численно, при $h=10^{-5}$:

   $\frac{f(1.00001,3)-f(0.99999,3)}{2\times 10^{-5}}=7.620907$

   Совпадает до шести знаков после запятой. Для сравнения: $\partial/\partial y$ дала бы $x^2+\sin x$ — совсем другое выражение, поэтому важно указывать переменную дифференцирования.